Sommaire
Produit scalaire avec des matrices
Produit scalaire avec des polynômes
Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
Trouver a et b pour que l’intégrale soit minimale
Soit un entier strictement positif.
Pour tout (A ; B) appartenant à Mn(R)2, on définit l’application :
\(\displaystyle \lt A \, ; \, B \gt = Tr(^t A B) \)
Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur Mn(R).
Pour tout (P ; Q) appartenant à R[X]2, on définit l’application :
\(\displaystyle \lt P \, ; \, Q \gt = \int\limits_0^1 P(t) \, Q(t) \, dt \)
Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur R[X].
L’exercice décrit une méthode très classique : le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Il s’agit de transformer une base quelconque en une base orthonormée.
On considère donc les vecteurs suivants :
\(\displaystyle \vec{e_1} \, \left(\begin{array}{1} 1\\0\\1\end{array}\right) \)
\(\displaystyle \vec{e_2} \, \left(\begin{array}{1} 1\\1\\1\end{array}\right) \)
\(\displaystyle \vec{e_3} \, \left(\begin{array}{1} -1\\-1\\0\end{array}\right) \)
On suppose que (e1, e2, e3) est une base.
L’exercice consiste à transformer cette base en une base orthonormée notée (u1, u2, u3).
Remarque : on considérera que l’espace est muni du produit scalaire canonique.
Nous allons voir ici un exercice très classique.
On pose :
\(\displaystyle I = \int\limits_{0}^{1} (x^2 – ax – b)^2 dx \)
Trouver a et b pour que I soit minimale et calculer I.
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