Exercices corrigés sur les séries entières

Rayon de convergence avec la règle de d’Alembert

Déterminer le rayon de convergence des séries suivantes :

\(\displaystyle \sum_{n \ge 1} \, \frac{1} {\sqrt{n}} \, x^n \)

\(\displaystyle \sum_{n \ge 1} \, \frac{n!}{2^{2n} \sqrt{(2n)!}} \, x^n \)

\(\displaystyle \sum_{n \ge 1} \, \frac{n!}{(2n)!} \, x^n \)

\(\displaystyle \sum_{n \ge 1} \, \frac{\sqrt{n}}{2^n + 1} \, x^n \)

Rayon de convergence et somme

Calculer le rayon de convergence et la somme de :

\(\displaystyle S_n = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^k}{2k + 1} \)

DSE avec un changement de variable

Donner le développement en séries entières au voisinage de 0 de :
ln(1 + 3x²)
ln(5 – x)
1/(7 + x³)

DSE avec la fonction ln

Donner le développement en séries entières au voisinage de 0 de :
ln(x² – 7x + 12)
ln(x² + 11x + 30)

Produit de Cauchy et séries entières

Calculer :

\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+ \infty} \, \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \, \, x^n \)

Équations différentielles et séries entières

Trouves les solutions développables en séries entières de l’équation différentielle suivante :
x² y” + 4xy’ + (2 – x²)y – 1 = 0

Méthode Maths