Sommaire
Exercice 1
Exercice 2
Intégrale impropre classique
Intégrale de exp(-t2)
Calcul de primitives
Règles de Bioche
Circulation d’un champ de vecteurs
Changement de variable en 2d : le jacobien
Formule de Green-Riemann
Intégrale de 1/(1+t²)²
Il s’agit de calculer l’intégrale suivante :
\(\displaystyle \int\limits_{ln(3)}^{3ln(2)} \frac{1}{\sqrt{1 + e^x}}dx \)
avec le changement de variable :
\(\displaystyle y = \sqrt{1 + e^x} \)
Même exercice, il s’agit de calculer l’intégrale suivante :
\(\displaystyle \int\limits_1^3 \frac{dx}{x\sqrt{1 + x^2}} \)
avec le changement de variable :
\(\displaystyle t = \frac{1}{x} \)
On rappelle la dérivée de argsinh :
\(\displaystyle argsinh'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \)
Nous allons calculer une intégrale impropre très classique après avoir justifié son existence :
\(\displaystyle I = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^2} dx \)
Nous allons maintenant calculer la même intégrale mais d’une manière totalement différente.
On pose :
\(\displaystyle I = \int\limits_{0}^{+ \infty} e^{-t^2} dt \)
Pour tout réels positifs ou nuls x et y, on pose :
\(\displaystyle f(x ; y) = e^{-x(1 + y^2)} \)
1) Calculer :
\(\displaystyle \int\limits_{0}^{+ \infty} \int\limits_{0}^{+ \infty} e^{-x(1 + y^2)} dx \)
2) En posant t = y√x, puis z = √x, montrer que :
\(\displaystyle \int\limits_{0}^{+ \infty}\int\limits_{0}^{+ \infty} f(x;y) dx \, dy = 2I^2 \)
3) Calculer I.
Il s’agit cette fois-ci de calculer la primitive de la fonction suivante à l’aide d’un changement de variable :
\(\displaystyle f(x) = \frac{x}{(x-1)^3} \)
Le changement de variable n’est pas donné, il faut le trouver tout seul^^
Nous allons calculer les intégrales suivantes en utilisant les règles de Bioche :
\(\displaystyle I = \int\limits_{0}^{\pi /2} sin^8 (x) cos^3 (x) dx \)
\(\displaystyle I = \int\limits_{\pi /4}^{\pi /2} \frac{1}{sin(x)} dx \)
Même énoncé mais avec l’intégrale suivante :
\(\displaystyle I = \int\limits_{0}^{\pi /2} \frac{1}{2 + sin(x) + cos(x)} dx \)
Pour cet exercice, on rappelle les formules avec le changement de variable classique t = tan(x/2) :
\(\displaystyle Si \, t = tan(\frac{x}{2}) \, : \)
\(\displaystyle cos(x) = \frac{1 – t^2}{1 + t^2} \)
\(\displaystyle sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2} \)
\(\displaystyle tan(x) = \frac{2t}{1 – t^2} \)
\(\displaystyle dx = \frac{2dt}{1 + t^2} \)
Soit deux réels a et b. On considère les points I(a ; 0 ; 0), J(0 ; b ; 0) et K(a ; b; 0), ainsi que le champ :
\(\displaystyle \vec{A} = (y^2 – x^2)\vec{e_x} + 2xy \vec{e_y} \)
Calculer la circulation de ce champ de vecteurs sur OIK, puis sur OJK.
Vérifier le résultat en utilisant une propriété du cours.
Pour la première vidéo :
Soit D = {(x ; y) ∈ R2 | 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9, y ≥ 0}
Calculer AD de deux manières différentes.
Pour la deuxième vidéo :
Soit D = {(x ; y) ∈ R2 | 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
Calculer AD puis calculer :
\(\displaystyle \int \int\limits_D \frac{1}{1 + x^2 + y^2} dx dy \)
1er exercice
Calculer :
\(\displaystyle I = \int \int\limits_D y^2 dx dy \)
avec
\(\displaystyle D = \{(x \, ; \, y) \in \mathbb{R}^2 | \frac{x^2}{4} + y^2 \le 1 \} \)
2ème exercice
Calculer :
\(\displaystyle I = \int \int\limits_D xy dx dy \)
avec
\(\displaystyle D = \{(x \, ; \, y) \in \mathbb{R}^2 | x \ge 0, \, y \ge 0, \, x + y \le 1 \} \)
Calculer :
\(\displaystyle \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{(1 + t^2)^2}dt \)
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