Exercices corrigés sur la récurrence niveau postbac

Sommaire

Calcul de an – bn
Une histoire de somme
Récurrence double
Récurrence forte
Formule d’inversion de Pascal : récurrence forte
Raisonnements plus complexes
Avec des coefficients binomiaux

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Calcul de an – bn

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Montrer que ∀ (a;b) ∈ R2, et ∀ n ∈ N* :

\(\displaystyle a^n – b^n = (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^k \ \ \ \ b^{n-1-k} \)

Une histoire de somme

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Monter que ∀ n ∈ N* :

\(\displaystyle (\sum\limits_{k=1}^{n} k)^2 = \sum\limits_{k=1}^{n}k^3 \)

Récurrence double

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On pose u0 = u1 = 1 et pour tout n ≥ 0 :

\(\displaystyle u_{n + 2} = (n + 1)u_{n + 1} – (n + 2)u_n \)

Montrer que pour tout n ≥ 0 : un = n2 – n – 1

Récurrence forte

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On pose u1 = 3 et pour tout n ≥ 1 :

\(\displaystyle u_{n + 1} = \frac{2}{n} \sum_{k = 1}^{n} u_k \)

Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un = 3n.

Formule d’inversion de Pascal : récurrence forte

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1) Montrer que pour tout i ≤ k ≤ n + 1 :

\(\displaystyle \begin{pmatrix} n + 1 \\ k \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}\, = \begin{pmatrix} n + 1 \\ i \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} n + 1 – i \\ k -i \end{pmatrix} \)

2) Montrer que que les propositions suivantes sont équivalentes :

\(\displaystyle \forall k \le n, \, u_k = \sum\limits_{i = 0}^{k} \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}\, v_i \)

\(\displaystyle \forall k \le n, \, v_k = \sum\limits_{i = 0}^{k} (-1)^{k – i} \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}\, u_i \)

C’est-à-dire montrer que

formule d'inversion de Pascal

Raisonnements plus complexes

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Nous allons montrer 3 propriétés par récurrence :
1)

\(\displaystyle u_0 = 2\, et\, u_{n+ 1} = \sqrt{u_n + 2} \)

\(\displaystyle \forall n \ge 0, \,\,P(n) :\,\, u_n \le 2 \)

2)

\(\displaystyle \forall n \ge 1,\,\,\,P(n) :\,\, 10^n – 1\, est\, multiple\, de\, 9 \)

3)

\(\displaystyle \forall n \ge 1,\,\,\,P(n) :\,\, 1 + 2+ …+ n = \frac{n(n+ 1)}{2} \)

Avec des coefficients binomiaux

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Soient deux entiers naturels p et n tels que p ≤ n.
1) Montrer par récurrence sur n que :

\(\displaystyle \sum\limits_{k=p}^{n} \begin{pmatrix} k\\ p \end{pmatrix}\, = \begin{pmatrix} n + 1\\ p + 1 \end{pmatrix}\, \)

2) Montrer que ∀ p, k ∈ N2 tels que k ≥ p :

\(\displaystyle \begin{pmatrix} k\\ p\end{pmatrix}\, = \begin{pmatrix} k + 1\\ p + 1 \end{pmatrix}\, – \begin{pmatrix} k\\ p + 1 \end{pmatrix} \)

En déduire que ∀ n ≥ p :

\(\displaystyle \sum\limits_{k=p}^{n} \begin{pmatrix} k\\ p \end{pmatrix}\, = \begin{pmatrix} n + 1\\ p + 1 \end{pmatrix} \)


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2 réflexions sur “ Exercices corrigés sur la récurrence niveau postbac ”

  1. Bonjour,
    Juste une petite remarque : vous dites que p+1 est plus petit que p, vous vouliez dire bien sûr que p+1 est plus grand que p et donc que p+1 parmi p est nul 🙂
    Merci beaucoup pour votre travail.

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