Sommaire
Introduction
Calcul de la transformée de Laplace
Formules à connaître
Propriétés
Lien avec la dérivée
Exercices
La transformée de Laplace est surtout utilisée en SI (Sciences de l’Ingénieur), mais on peut également s’en servir en Physique-chimie pour la résolution d’équations différentielles.
Dans ce cours nous verrons essentiellement les calculs et formules à connaître, nous ne détaillerons pas trop les conditions mathématiques d’existence des transformées de Laplace (parfois abrégé TL dans ce cours).
La TL d’une fonction f est une autre fonction, souvent notée F (à ne surtout pas confondre avec la primitive souvent notée F également…).
On pourra aussi utiliser la notation TL(f) pour désigner F : TL(f) = F.
Sauf que f et F ne dépendent pas de la même variable : f dépend d’une variable réelle que l’on notera t, tandis que p dépend d’une variable complexe que l’on note p.
On dira donc que F(p) est la transformée de Laplace de f(t) : TL(f(t)) = F(p)
On utilisera parfois une fonction g, et de la même manière on notera sa TL G : TL(g(t)) = G(p)
Quand on fait des raisonnements avec F au lieu de f, on dit qu’on est dans le domaine de Laplace.
Voyons comment calculer F(p).
Si la variable de f est notée t, ce n’est pas par hasard. En SI ou en Physique-chimie, f représentera une fonction du temps, d’où la variable t !
La formule ci-dessous pour calculer F n’est valable que si f(t) = 0 pour t < 0.
Si f est la vitesse de rotation d’un arbre moteur par exemple, cela signifie que l’arbre ne commence à tourner qu’à partir de t = 0.
On a alors la formule :
\(\displaystyle F(p) = \int\limits_0^{+ \infty} f(t) e^{-pt}dt \)
pour p complexe et t réel
Remarque : si p est imaginaire pur, on retrouve la formule de la série de Fourier étudiée dans un autre chapitre.
En SI comme en Physique-chimie, il est rare que l’on ait à calculer la TL d’une fonction, on se servira directement des formules décrites dans le tableau ci-après.
Le tableau ci-dessous récapitule les fonctions f rencontrées le plus souvent dans les exercices avec leurs transformées de Laplace.
Tu peux calculer les TL en utilisant la formule précédente pour t’entraîner ! 
| f(t) | F(p) |
| k (constante) |  |
| t |  |
| tn (n entier naturel) |  |
| tα-1 (pour tout réel α > 0) |  |
| cos(bt) |  |
| sin(bt) |  |
| ebt |  |
Remarque : la fonction Γ présente dans le tableau est la fonction Gamma définie par :
\(\textstyle \Gamma(\alpha) = \displaystyle \int\limits_0^{+ \infty} e^{-t} t^{\alpha – 1} dt \)
Ces formules sont à connaître par cœur (sauf si tu veux les redémontrer à chaque fois )
Mais ce n’est pas tout ! D’autres formules sont à connaître, nous allons voir lesquelles.
En plus de ces fonctions de référence, deux propriétés classiques s’appliquent aux transformées de Laplace.
Tout d’abord, les retards.
En effet, f étant une fonction dépendant du temps, il peut arriver qu’il y ait un retard, que l’on notera a.
Si on a un retard « a » on a donc f(t – a).
Dans la transformée de Laplace, cela se traduit par une multiplication par e-ap :
\(\displaystyle TL(f(t-a)) = e^{-ap}F(p) \)
Exemple : prenons f(t) = t².
D’après le tableau, F(p) = 2/p3.
Prenons alors g(t) = f(t-5), soit g(t) = (t-5)²
D’après la formule, on a donc G(p) = 2e-5p/p3.
Ce n’est pas plus compliqué que ça !
Réciproquement, imaginons que l’on multiplie f(t) par eat (attention, pas de signe – !!).
Cela se traduit dans la TL par un « retard) de a !
\(\displaystyle TL(e^{at}f(t)) = F(p – a) \)
—
ATTENTION !! Il n’y a pas de signe – dans l’exponentielle contrairement à la formule précédente.
Cela est notamment dû au fait que quand on passe l’exponentielle de l’autre côté de l’égalité, on divise par et, ce qui revient à multiplier par e-t (attention, cette explication est juste un moyen mnémotechnique pour se rappeler qu’il y a un signe – dans un cas et pas dans l’autre, ce n’est pas une démonstration…)
—
On peut alors rajouter ces 2 lignes au tableau précédent :
| f(t-a) | e-ap × F(p) |
| eat × f(t) | F(p – a) |
Par ailleurs, il existe d’autres propriétés pour la TL d’une fonction.
Tout d’abord la linéarité, qui se démontre facilement grâce à la linéarité de l’intégrale :
\(\displaystyle TL(af(t) + bg(t)) = aF(p) + bG(p) \)
Ainsi, on peut retrouver la TL de cos(bt) avec celle de l’exponentielle.
En effet,
\(\textstyle cos(bt) = \frac{e^{ibt} + e^{-ibt}}{2} \)
D’où :
\(\textstyle TL(cos(bt)) = TL(\frac{e^{ibt} + e^{-ibt}}{2}) \)
\(\textstyle TL(cos(bt)) = \frac{1}{2}[TL(e^{ibt}) + TL(e^{-ibt})] \)
\(\textstyle TL(cos(bt)) = \frac{1}{2}(\frac{1}{p – ib} + \frac{1}{p + ib}) \)
\(\textstyle TL(cos(bt)) = \frac{1}{2}(\frac{p + ib + p – ib}{(p – ib)(p + ib)}) \)
\(\textstyle TL(cos(bt)) = \frac{1}{2}(\frac{2p}{p^2 + b^2}) \)
\(\textstyle TL(cos(bt)) = \frac{p}{p^2 + b^2} \)
On pourrait évidemment faire la même chose avec sin(bt) (tu peux t’entraîner à le faire !).
Enfin, il existe une propriété sur la produit de convolution de 2 fonctions f et g.
On rappelle que le produit de convolution de f et g, noté f*g et étudié dans un autre chapitre, est défini de la manière suivante :
\(\textstyle f*g(t) = \int\limits_0^t f(t-x)g(x)dx \)
La propriété sur la TL est la suivante : la transformée de Laplace de f*g est le produit des transformées de Laplace (ce qui est beaucoup plus simple) :
\(\displaystyle TL(f*g(t)) = F(p) \times G(p) \)
Dernière propriété concernant les limites cette fois-ci, on a :
\(\displaystyle \lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{p \to + \infty} pF(p) \)
\(\displaystyle \lim_{t \to + \infty} f(t) = \lim_{p \to 0} pF(p) \)
Comme tu le vois la formule est la même mais en inversant 0 et +∞, donc si tu connais une formule tu connais l’autre !
Il existe également un lien entre la dérivée de f et la TL de f.
Attention, p étant une variable complexe, F'(p) n’a aucune signification (sauf si p réel), on va donc plutôt s’intéresser à TL(f’).
La formule est la suivante :
\(\displaystyle TL(f'(t)) = pTL(f(t)) – f(0) \)
Autrement dit :
\(\textstyle TL(f'(t)) = pF(p) – f(0) \)
Attention à ne surtout pas oublier la constante f(0) !!
En SI, on prend toujours des conditions initiales nulles, et donc très souvent on retient que dériver revient à multiplier par p.
De la même manière, intégrer revient à diviser par p.
C’est pourquoi en SI, dans les schémas-blocs notamment, si une fonction de transfert est « p », on dit que c’est un dérivateur, si au contraire on a « 1/p », on dit que c’est un intégrateur :
Par récurrence immédiate, on peut aussi donner la TL des dérivées, 2ème, 3ème, 4ème etc.. :
\(\textstyle TL(f »(t)) = p^2TL(f(t)) – pf(0) – f'(0) \)
\(\textstyle TL(f »'(t)) = p^3TL(f(t)) – p^2f(0) – pf'(0) – f »(0) \)
etc…
Ces formules sont cependant rarement appliquées en SI, car on simplifie en disant que dériver 2 fois revient à multiplier par p2, dériver 3 fois revient à multiplier par p3 etc…
Voilà, tu sais désormais tout ce qu’il faut savoir sur les Lois de Laplace !
Pour accéder aux exercices sur la transformée de Laplace, clique ici !
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