Sommaire
Équations de droite et de plan
Intersection de droites et de plans
Intersection d’une droite et d’un plan
Projeté orthogonal d’un point sur un plan
Intersection de plans
Intersection de droites
Liban 2010 exo 2
Polynésie 2010 exo 3
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On considère quatre points A(2 ; 1 ; 4), B(-3 ; 1 ; 5), C(2 ; 7 ; 6) et D(2 ; 3 ; 4).
1) Déterminer une équation paramétrique de la droite (AB)
2) Déterminer une équation paramétrique de la droite parallèle à (AB) et passant par C
3) Déterminer une équation du plan admettant AB comme vecteur normal et passant par D.
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On considère les droites :
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{c} x = 3t + 2 \\ y = -5t – 4 \\ z = t + 5 \end{array} \right. \)
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{c} x = k – 5 \\ y = 2k + 3 \\ z = 5k – 4 \end{array} \right. \)
ainsi que les plans :
P : -6x + 10y -2z + 5 = 0 et Q : x + 2y + 7z +3 = 0
Montrer que :
1) d est strictement parallèle à Q
2) d est perpendiculaire à P
3) P et Q sont sécants
4) d’ et P sont sécants en un point à déterminer
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Trouver l’intersection du plan d’équation 6x + y + 3z – 2 = 0 et la droite d d’équations paramétriques :
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{c} x = t + 4\\y = 3t – 7 \\z = 2t + 5 \end{array} \right. \)
Même question avec le plan d’équation 5x + 2y -4z – 2 = 0 et de la droite :
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{c} x = -2t + 5 \\ y = 3t + 6 \\ z = -t + 4 \end{array} \right. \)
Enfin, même question avec le plan d’équation x – 2y + z – 9 = 0 et de la droite :
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{c} x = t + 2 \\ y = 2t – 1 \\ z = 3t + 5 \end{array} \right. \)
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Soit P le plan d’équation cartésienne : x + 3y – 2z + 2 = 0, et le point M(5 ; 3 ; 1).
Déterminer le projeté orthogonal de M sur P.
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Soit P le plan d’équation x – 3y + 2z + 5 = 0 et Q le plan d’équation 3x – 2y + 6z + 2 = 0.
Montrer que P et Q sont sécants et trouver leur intersection.
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Soient d et d’ deux droites données par les équations paramétriques suivantes :
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{c} x = t + 6 \\ y = t – 7 \\ z = -t – 4 \end{array} \right. \)
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{c} x = 2k + 1 \\ y = -3k – 2 \\ z = -k – 1 \end{array} \right. \)
Montrer que d et d’ sont sécantes et trouver leur point d’intersection.
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On note (D) la droite passant par A (1 ; -2 ; -1) et B (3 ; -5 ; -2)
1) Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est :
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{c} x = 1 + 2t\\y = -2 – 3t\\ z = -1 \end{array} \right. \)
2) On note (D’) la droite ayant pour représentation paramétrique :
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{c} x = 2 – k\\y = 1 + 2k\\ z = k \end{array} \right. \)
Montrer que (D) et (D’) ne sont pas coplanaires.
3) On considère le plan (P) d’équation 4x + y + 5z + 3 = 0
a) Montrer que le plan (P) contient la droite (D).
b) Montrer que le plan (P) et la droite (D’) se coupent en un point C dont on précisera les coordonnées.
4) On considère la droite (Δ) passant par le point C et de vecteur directeur w(1 ; 1 ; -1)
a) Montrer que (Δ) et (D’) sont perpendiculaires.
b) Montrer que (Δ) coupe perpendiculairement la droite (D) en un point E dont on précisera les coordonnées.
On considère les points A(1 ; 1 ; 1) et B(3 ; 2 ; 0 ;
Le plan (P) passant par le point B et admettant le vecteur AB pour vecteur normal ;
Le plan (Q) d’équation x – y + 2z + 4 = 0 ;
La sphère (S) de centre A et de rayon AB.
1) Montrer qu’une équation cartésienne du plan (P) est 2x + y – z – 8 = 0.
2) Déterminer une équation de la sphère (S).
3) a) Calculer la distance du point A au plan (Q).
En déduire que le plan (Q) est tangent à la sphère (S).
b) Le plan (P) est-il tangent à la sphère (S) ?
4) On admet que le projeté orthogonal de A sur le plan (Q), noté C, a pour coordonnées (0 ; 2 ; -1)
a) Prouver que les plans (P) et (Q) sont sécants.
b) Soit (D) la droite d’intersection des plans (P) et (Q).
Montrer qu’une représentation paramétrique de (D) est :
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{c} x = t\\y = 12 – 5t\\ z = 4 \end{array} \right. \)
c) Vérifier que le point A n’appartient pas à la droite (D).
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