Sommaire

Introduction
Continuité
Fonctions sympathiques
Racines et fonctions rationnelles
Théorème de bijection
Théorème des valeurs intermédiaires
Dérivabilité
Lien entre continue et dérivable
Intérêt de la continuité et dérivabilité

Introduction
Dans ce chapitre sont regroupées quelques notions à connaître car les questions qui y sont associées reviennent souvent.
La contnuité et la dérivabilité sont généralement les premières questions posées pour les études de fonctions.

Le théorème de bijection utilise l’hypothèse de contnuité et est donc présenté dans ce chapitre en tant qu’application directe de la continuité. En Terminale, c’est d’ailleurs l’application principale de la notion de continuité
Continuité
La continuité, c’est quoi ?
Avec un schéma tu comprendras très facilement :

En gros, continue veut dire qu’il n’y a pas de « saut », on peut tracer la fonction sans lever le crayon.
Mathématiquement, une fonction est continue sur un intervalle I si :

En Terminale on s’en sert parfois, nous le verrons plus tard.
Fonctions sympathiques

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Il y a certaines fonctions que nous appellerons « sympathiques » car leur ensemble de définition est très simple.

C’est le cas des fonctions cosinus, sinus, ainsi que tous les polynômes, qui sont définies et continues sur R.
Les polynômes sont les fonctions du type : f(x) = 3 + 7x + 8x² – 5x³ + 12x⁴…

Généralement, quand on a ce type de fonctions, on est content car elles ne posent pas de souci particulier

Pour les sommes, les différences et les produits c’est pareil :
Si f est continue sur un intervalle I et g continue sur un intervalle J, et bien f + g, f-g et f × g sont continues sur I ∩ J : l’intersection des deux intervalles.

Par exemple, si f est continue sur ]-∞ ; 5] et g sur [2 ; +∞[, f – g est continue sur I∩J=[2 ; 5], tout comme f + g et f × g.

Racines et fonctions rationnelles

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Il y a également des fonctions un peu moins sympathiques, comme les racines et les fractions rationnelles (les fractions rationnelles sont des quotients de polynômes, on dit aussi fonction rationnelle).

La règle est la suivante : ce type de fonctions est continue sur tout intervalle où elle est définie.
(Cette règle est aussi vraie pour les fonctions « sympathiques », mais comme elle sont continues sur R on ne se casse pas la tête avec cette règle^^).

Or ces deux types fonctions ne sont pas définies partout, puisque ce qui est dans la racine doit être POSITIF (ou nul), et quand on a une fraction, il faut que le dénominateur soit DIFFERENT DE 0 !!

Un petit exemple ne fera pas de mal :

Cette fonction est définie pour -8x + 7 ≥ 0 : ce qui est dans la racine doit être positif.
Il faut donc 7 ≥ 8x, donc 7/8 ≥ x.

C’est-à-dire x ≤ 7/8
La fonction f est donc définie sur ]- ∞ ; 7/8]

f est donc continue sur ]- ∞ ; 7/8] puisque c’est une fonction racine définie sur ]-∞;7/8].

—
ATTENTION !! Il ne faut surtout PAS dire « c’est une racine donc elle est définie et continue sur [0 ; ∞[ !!
C’est ce qui est à l’INTERIEUR de la racine qui doit être positif, pas le x. —

Pour une fraction rationnelle, c’est le même principe :

Ici le numérateur et le dénominateur sont des fontions polynômes donc « sympathiques » : elles sont continues sur R.
Par contre il faut que le dénominateur soit non nul !!

Il faut donc trouver la ou les valeurs pour lesquelles le dénominateur s’annule.
Ici c’est simple :
8x – 3 = 0
8x = 3
x = 3/8.
Il n’y a qu’une seule valeur pour laquelle le dénominateur s’annule : 3/8.

f est donc définie sur R privé de 3/8, et comme c’est une fonction rationnelle (une fraction de polynômes), elle est également continue sur R-{3/8}.

C’est là qu’il faut bien rédiger !! La rédaction est la suivante :
f est continue sur R-{3/8} comme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas sur R-{3/8}.

C’est la fin qui est importante : « comme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas sur R-{3/8} ».
C’est en effet ce point-là qu’il est important de justifier puisque l’on a dit que les fractions rationnelles étaient définies sur R SAUF là où le dénominateur s’annule.

Il y a bien sûr des cas beaucoup plus compliqués, comme des racines de fractions ou des fractions avec des racines, ce pourquoi nous t’avons préparé plusieurs exercices sur la continuité

Théorème de bijection

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Le théorème de bijection est très important car il y a souvent des questions qui l’utilisent.

La bonne nouvelle, c’est que les questions sont toujours les mêmes
Il suffit donc d’adapter ce qui va suivre au contexte de l’exercice.

Prenons une analogie : on va du 1er au 7ème étage (escalier ou ascenceur, c’est pareil^^).
On veut montrer que l’on passe forcément par le 3ème étage et que l’on n’y passe qu’UNE SEULE FOIS !!

Pour cela nous avons besoin de 3 hypothèses :
– il faut que le 3ème étage soit compris entre le début et l’arrivée (le 1er et le 7ème).
– il faut aussi que l’on passe par TOUS les étages, sans en sauter. C’est l’hypothèse de continuité !
– il faut enfin que l’on ne fasse que monter ou descendre, sinon on pourrait passer plusieurs fois par le 3ème étage : c’est l’hypothèse de monotonie (fonction strictement croissante ou décroissante)

Ce petit exemple t’a normalement permis de comprendre le principe de ce que l’on va expliquer après.

Prenons maintenant un exemple en mathématques. Nous allons prendre une partie de l’exercice 4 du bac 2010 d’Asie.
On a une fonction f :

Il fallait montrer que

(la formule était donnée dans l’énoncé, il suffisait de la démontrer)

La question d’après était : « Déterminer le signe de f, et en déduire le tableau de variation de f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ »
Comme c’est un produit, il suffit de faire le signe de chaque terme :
1/x⁴ est strictement positif car x > 0 (et de toute façon x puissance 4 est toujours positif, car 4 est pair^^)
e^1/x est strictement positif car une exponentielle est toujours positive
2x + 1 est strictement positif car x > 0 (si on travaillait sur R et non sur ]0 ; +∞[, ça aurait été différent…)

Du coup, tout est positif, et même strictement postif, mais il ne faut pas oublier le « – » du f ‘ !!
Donc f ‘ est strictement négatif, donc f est STRICTEMENT décroissante. On peut donc faire le tableau de variations de f :

La limite en 0 et en +∞ ont été calculées dans des questions précédentes que nous avons sautées car ce n’est pas le but de ce chapitre de calculer des limites^^

Et c’est la question suivante qui nous intéresse :
« Démontrer que l’équation f(x) = 2 a une unique solution notée α (prononcer alpha) appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ »

En gros il faut montrer que f passe forcément par 2 (« il existe… ») et qu’on ne passe qu’UNE SEULE FOIS par 2 (« une UNIQUE solution… »).
On aurait alors la relation f(α) = 2.
Sur le tableau de variation, comme f(α) = 2, le 2 est dans la case de f, et le α sur la ligne des x :

Sur le tableau on comprend pourquoi le α existe : le 2 est bien compris entre le +∞ et le 0 ( il faut aussi que f soit continue)
Et il est unique parce que f est STRICTEMENT décroissante, donc f ne peut passer qu’une seule fois par 2.
C’est donc exactement le théorème de bijection !!!

Il ne reste donc plus qu’à le rédiger :
2 appartient à f( ]0 ; +∞[ ) = ]0 ; +∞[, et f est continue et STRICTEMENT décroissante sur ]0 ; +∞[ (on rappelle les 3 hypothèses).
Donc d’après le théorème de bijection, il existe un UNIQUE x ∈ ]0 ; +∞[ tel que f(x) = 2.
Ce x est noté α.

Et voilà, c’est terminé !!

Fais ces exercices sur le théorème de bijection, tu verras que ce sont toujours les mêmes questions, la rédaction est donc toujours la même^^

Théorème des valeurs intermédiaires

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Le théorème des valeurs intermédiaires (souvent abrégé en TVI), est sensiblement identique au théorème de bijection à une nuance près.

En effet, il n’y a pas l’hypothèse de stricte croissance ou décroissance.
Du coup, on ne peut pas dire que la solution est unique ! On sait qu’il existe AU MOINS une solution : il peut n’y en avoir qu’une comme il peut y en avoir plusieurs.

On l’utilise donc quand il faut montrer qu’il existe au moins une solution à une équation (dans la question il y aura marqué « au moins » et non « unique » comme précédemment).

Tout est donc exactement pareil que pour le théorème de bijection, sauf que l’on ne dit pas l’hypothèse de stricte croissance ou décroissance, et dans la conclusion il faut dire qu’il exsite « au moins » une solution et non une « unique » solution.

On utilise peu souvent ce théorème en Terminale.

En revanche, il arrive que l’on applique le théorème de bijection sur plusieurs intervalles à la fois !

Imaginons que l’on ait le tableau de variations suivant :

on suppose que la fonction est à chaque fois strictement croissante ou strictement décroissante sur chaque intervalle

La question pourrait être : « donner le nombre de solutions de l’équation f(x) = 10 ».

On peut déjà voir sur le tableau de variations qu’il y en a 3 :

Par contre sur les intervalles ]15 ; 27[ et ]27 ; 60[, la fonction ne passe pas par 10, il n’y a donc pas de solution à l’équation f(x) = 10 sur ces intervalles !!

Pour les autres intervalles, il suffit d’appliquer le théorème de bijection sur chaque intervalle !
10 appartient à f( ]-∞ ; -4[ ) = ]5 ; +∞[, et f est continue et STRICTEMENT décroissante sur ]-∞ ; -4[.
Donc d’aprs le théoèreme de bijection, il existe un UNIQUE x ∈ ]-∞ ; -4[ tel que f(x)=10. Ce x est noté α.

10 appartient à f( ]-4 ; 15[ ) = ]5 ; 20[, et f est continue et STRICTEMENT croissante sur ]-4 ; 15].
Donc d’aprs le théoèreme de bijection, il existe un UNIQUE x ∈ ]-4 ; 15[ tel que f(x)=10. Ce x est noté β.

10 appartient à f( ]60 ; +∞[ ) = ]-12 ; 30[, et f est continue et STRICTEMENT décroissante sur ]60 ; +∞].
Donc d’après le théoèreme de bijection, il existe un UNIQUE x ∈ ]60 ; +∞[ tel que f(x) = 10. Ce x est noté γ.

Pour aller plus vite, au lieu de réécrire tout pour β et γ, on aurait pu dire « de même sur ]-4 ; 15[ et ]60 ; +∞[ »

Si on avait utilisé le théorème des valeurs intermédiaires, on aurait dit :
10 appartient à f( ]-∞ ; +∞[) = ]-12 ; +∞[ et f est continue sur ]-∞ ; +∞[, donc d’après le TVI, il existe AU MOINS une solution à l’équation f(x) = 10.

Mais là on ne saurait pas le nombre de solutions ni où se situent ces solutions, alors qu’avec le théorème de bijection on sait qu’il y a 3 solution :
la 1ère est dans l’intervalle ]-∞ ; -4[
la 2ème est dans l’intervalle ]-4 ; 15[
la 3ème est dans l’intervalle ]60 ; +∞[

Pour faire simple, ne retiens que le théorème de bijection, laisse de côté le TVI si ça t’embrouille l’esprit.
Ce qu’il faut retenir c’est le principe et surtout la rédaction avec les 3 hypothèses à vérifier.

Dérivabilité

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La dérivabilité est plus dure à exprimer graphiquement.
Cependant, on peut parfois supposer qu’une fonction n’est pas dérivable en un point s’il y’a un « pic » en ce point :

ATTENTION ! Il n’y a aucune certitude sur la dérivabilité ou non de la fonction juste avec le graphique

En Terminale généralement c’est assez simple :
les fonctions sinus, cosinus, ainsi que les polynômes sont dérivables sur R (ce sont les fonctions « sympathiques » de tout à l’heure )
Quand on a une somme, une différence ou un produit de fonctions, l’ensemble de dérivabilité est l’intersection des ensembles de dérivabilité de chaque fonction (comme tout à l’heure avec la continuité).

Pour les fractions rationnelles c’est aussi le même principe : il faut que le dénominateur soit non nul.
Reprenons l’exemple de tout à l’heure :

Le numérateur et le dénominateur sont des polynômes donc dérivables sur R : pas de problème.
Mais il faut que le dénominateur soit non nul, et on a vu qu’il s’annulait pour x = 3/8

f est donc dérivable sur R-{3/8}

Il ne reste plus qu’à le rédiger, un peu comme tout à l’heure :
f est dérivalbe sur R-{3/8} comme quotient de polynômes dérivables sur R dont le dénominateur ne s’annule pas sur R-{3/8}

Comme tu le vois c’est exactement comme tout à l’heure, on remplace juste « continue » par « dérivable »^^

Par contre pour les racines c’est un peu différent !!
En effet, pour la contuinté, on a dit que ce qui était à l’intérieur de la racine devrait être positif ou nul.

Mais pour la dérivabilité, ce qui est dans la racine doit être STRCITEMENT positif!!

Si on reprend l’exemple de tout à l’heure :

On a vu que -8x + 7 est positif pour x ≤ 7/8.
Ici il faut -8x + 7 > 0, donc x < 7/8

f est donc dérivable sur ]-∞ ; 7/8[ : elle n’est donc pas dérivable en 7/8, bien qu’elle soit définie en ce point.

Cette subtilité entre dérivable et continue est expliquée juste après.

Avec ces exercices sur la dérivabilité, tu ne devrais pas avoir de problèmes

Lien entre continue et dérivable

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Ici la règle va être très simple, il suffit juste de ne pas inverse :

—
ATTENTION à ne pas mélanger les deux !!!
Beaucoup d’élèves disent « la fonction est continue donc elle est dérivable »
C’EST FAUX !!C’est l’inverse : elle est dérivable donc elle est continue^^
—

Ainsi une fonction peut être continue en un point sans être dérivable en ce point.
C’est le cas de la fonction

On a vu que cette fonction était continue en 7/8 mais qu’elle n’était pas dérivable en 7/8

Du coup, si tu as déjà montré ou si tu sais qu’une fonction est dérivable sur un certain intervalle, tu peux dire « elle est dérivable sur cet intervalle donc elle est continue sur cet intervalle » (et pas l’inverse^^).
Cela sert parfois dans la rédaction quand il faut justifier qu’une fonction est continue.

Intérêt de la continuité et dérivabilité
Il n’y a pas d’exercices à proprement parler sur la continuité et la dérivabilité.
En fait, beaucoup d’exercices sont des études de fonctions, et les premières questions sont souvent « donner l’intervalle de continuité et de dérivabilité de la fonction ».
C’est là que tu appliques ce que tu viens d’apprendre.

Par contre, il arrive que ce ne soit pas demandé. A ce moment-là, au moment de calculer la dérivée, il est bien vu de donner l’ensemble de dérivabilité.
Le correcteur verra que tu comprends ce que tu fais et que tu ne réponds pas bêtement aux questions sans en comprendre le sens.

Concernant le théorème de bijection c’est différent, tu auras souvent des questions là-dessus. Cependant, il n’y a généralement qu’une seule question de ce type par exercice, et tu n’auras pas cette question à chaque fois.
Mais il est utile de savoir comment rédiger car comme dit précédemment, c’est toujours la même chose

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