Sommaire
Introduction
La loi uniforme
La loi exponentielle
La loi normale
Nous allons parler dans ce chapitre des lois à densité, dont le principe est différent des lois discrètes vues précédemment.
Pour les lois discrètes on a vu que pour définir une loi de probabilité, il faut donner la probabilité de chaque valeur que peut prendre la loi.
Ici c’est impossible car la loi à densité peut prendre une infinité de valeurs, et plus précisemment elle prend ses valeurs dans un intervalle, par exemple [-2 ; 5].
Pour définir une loi à densité, il faut connaître la densité de probabilité de la loi, qui est une fonction continue et positive. On note presque toujours cette fonction f.
Mais à quoi sert cette fonction ? Et bien tout simplement à calculer des probabilités avec la formule :
\(\displaystyle P(a \leq X \leq b) = \int\limits_a^b f(x) dx \)
De la même manière :
\(\displaystyle P(X \leq t) = \int\limits_{-\infty}^t f(x) dx \)
\(\displaystyle P(X \geq t) = \int\limits_t^{+\infty} f(x) dx \)
Tu remarqueras qu’on ne calcule pas la probabilité que X vaille un certain chiffre, mais la probabilité qu’il soit compris dans un intervalle.
Oui mais alors que vaut P(X = k) ?
Et bien c’est très simple :
\(\displaystyle P(X = k) = 0 \)
pour tout réel k si X est une loi à densité
Du coup on peut en déduire certaines choses :
\(\displaystyle P(X \leq b) = P(X \lt b) \)
\(\displaystyle P(X \geq a) = P(X \gt a) \)
On peut faire de même quand on a P(a < X < b).
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ATTENTION !
Toutes ces formules ne sont vraies que pour les lois à densité, comme tout ce qui se trouve sur cette page.
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Dans toute la suite du chapitre, on mettra donc indifféremment < ou ≤, et > ou ≥ car on vient de montrer que cela revenait au même.
D’autres formules sont également à savoir : tu te souviens que la somme des probabilités d’une loi discrète vaut 1.
Ici c’est pareil mais on ne peut pas additionner toutes les valeurs, puisqu’il y en a une infinité !
Que fait-on alors ? Et bien une intégrale !
\(\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1 \)
Par ailleurs, il y a également une formule pour l’espérance, encore avec une intégrale :
\(\displaystyle E(X) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} xf(x) dx \)
où f est évidemment la densité de X
Tu remarqueras que c’est la même formule mais avec un x en plus.
Bon c’est bien beau tout ça mais concrètement que va-t-on te demander ?
Et bien il faut savoir qu’il y a 3 lois particulières à connaître, mais surtout 2 car la troisième est assez peu utilisée dans les exercices de Terminale.
Du coup on va commencer par celle-là, en plus c’est la plus simple : c’est la loi uniforme.
Ce que tu dois savoir sur cette fonction c’est son f, c’est-à-dire sa densité de probabilité.
Si X est une loi uniforme sur l’intervalle [a;b], alors pour tout x appartenant à [a;b] :
\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{b-a} \)
Et f(x) vaut 0 en dehors de l’intervalle [a;b]
Comme tu le vois ce n’est pas trop dur^^
Pour l’espérance on va faire le petit calcul : soit f la densité d’une loi uniforme sur un intervalle [a;b]
\(\textstyle E(X) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} xf(x) dx \)
—
ATTENTION ! f ne vaut 1/(b-a) que sur l’intervalle [a;b], il faut donc découper notre intégrale en trois intégrales grâce au théorème de Chasles:
—
\(\textstyle E(X) = \int\limits_{-\infty}^a xf(x)dx + \int\limits_a^b xf(x)dx + \int\limits_b^{+\infty} xf(x)dx \)
\(\textstyle E(X) = \int\limits_{-\infty}^a x \times0 dx + \int\limits_a^b x \times \frac{1}{b-a}dx + \int\limits_b^{+\infty} x \times0dx \)
car f(x) = 0 en dehors de l’intervalle [a;b]mais vaut 1/(b-a) sur l’intervalle [a;b]
\(\textstyle E(X) = \int\limits_a^b x \times \frac{1}{b-a}dx \)
\(\textstyle E(X) = \frac{1}{b-a}\int\limits_a^b x dx \)
car 1/(b-a) est une constante
\(\textstyle E(X) = \frac{1}{b-a}[\frac{x^2}{2}]_a^b \)
\(\textstyle E(X) = \frac{1}{b-a}(\frac{b^2}{2} – \frac{a^2}{2}) \)
\(\textstyle E(X) = \frac{b^2 – a^2}{2(b-a)} \)
\(\textstyle E(X) = \frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)} \)
\(\textstyle E(X) = \frac{(b+a)}{2} \)
Et donc voilà la formule que l’on souhaitait :
Si X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a;b] :
\(\displaystyle E(X) = \frac{a+ b}{2} \)
Au-delà de la formule que tu dois savoir, c’est surtout le début du calcul qui est important et le principe : quand tu remplaces f, il faut faire très attention à ce que vaut f !!!
Car très souvent f ne vaut pas la même chose suivant l’intervalle sur lequel on est, ici f valait 1/(b-a) sur l’intervalle [a;b] mais 0 en dehors de cet intervalle.
Il fallait donc séparer l’intégrale avec le théorème de Chasles pour avoir plusieurs intervalles, et seulement à ce moment-là on peut remplacer f.
Pour la loi exponentielle, il faut également savoir que vaut la densité f.
Pour la loi uniforme, on a vu que si on connait a et b, on connait tout.
Pour la loi exponentielle, cela dépend d’un paramètre que l’on note λ (prononcer landa). On dit alors qu’une variable X suit une loi exponentielle de paramètre λ.
A ce moment là, on a :
\(\displaystyle Pour \ tout \ x \ge 0 \)
\(\displaystyle f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \)
\(\displaystyle Et \, pour \ tout \ x \le 0 \)
\(\displaystyle f(x) = 0 \)
On a donc :
\(\displaystyle P(X \leq t) = \int\limits_0^t \lambda e^{-\lambda x} dx \)
Cette intégrale se calcule facilement, les détails sont donnés dans la vidéo après mais ça donne :
\(\textstyle P(X \leq t) = \int\limits_0^t \lambda e^{-\lambda x} dx \)
\(\textstyle P(X \leq t) = [-e^{-\lambda x}]_0^t \)
\(\textstyle P(X \leq t) = -e^{-\lambda t} + 1 \)
Finalement :
\(\displaystyle P(X \leq t) = 1 – e^{-\lambda t} \)
Si on a mis tous les calculs et pas seulement le résultat, c’est pour que tu comprennes d’où ça vient, et surtout pour que tu comprennes la ligne suivante :
\(\displaystyle P(t_1 \leq X \leq t_2) = \int\limits_{t_1}^{t_2} \lambda e^{-\lambda x} dx \)
\(\displaystyle P(t_1 \leq X \leq t_2) = [-e^{-\lambda x}]_{t_1}^{t_2} \)
\(\displaystyle P(t_1 \leq X \leq t_2) = e^{-\lambda t_1} – e^{-\lambda t_2} \)
Généralement dans les exercices ils te rappellent les formules et tu n’as plus qu’à les appliquer, mais retiens quand même la méthode car parfois ils demandent de redémontrer tout cela^^
Une petite remarque toutefois :
Pour calculer P(X ≥ t), il faut passer par le complémentaire !
En effet, le complémentaire de {X ≥ t} est {X < t} d’après ce que l’on a dit précédemment.
Ainsi, P(X ≥ t) = 1 – P(X < t) ou 1 – P(X ≤ t) comme on l’a vu précédemment.
P(X ≥ t) = 1 – P(X ≤ t) = 1 – (1 – e-λ t) = e-λ t
On a donc P(X ≥ t) = e-λ t
Mais de toute façon tu auras à le redemontrer à chaque fois, donc apprend la méthode et les calculs et non le résultat 
Par ailleurs, la loi exponentielle est une loi dite « sans vieillissement ».
Pour une machine à laver par exemple, la probabilité qu’elle tombe en panne dans 2 ans ne dépend pas de son âge : qu’elle ait 1 an ou 20 ans, elle aura la même probabilité de tomber en panne dans 2 ans (enfin on suppose ça pour l’exemple, en vrai cest un peu différent 
).
C’est une des applications les plus courantes de la loi exponentielle.
Cela se traduit mathématiquement de la façon suivante :
\(\displaystyle P_{X \ge t}(X \ge t + h) = P(X \ge h) \)
(c’est une probabilité conditionnelle)
Autrement dit, la probabilité que X soit supérieur à t+h sachant qu’il est déjà supérieur à t, c’est la probabilité qu’ils soit plus grand que h.
Exemple : P(X ≥ 5)(X ≥ 20) = P(X ≥ 15) : la probabilité que X soit supérieur à 20 sachant qu’il est déjà supérieur à 5, c’est la probabilité qu’ils soit plus grand que 15.
Pour une machine à laver par exemple, qu’elle ait 5 ans ou qu’elle soit neuve, elle aura la même probabilité de tomber en panne d’ici 15 ans (si on suppose que sa durée de vie suit une loi exponentielle).
On demande assez souvent de démontrer ce résultat, voici donc la démonstration (à savoir refaire du coup !!) :
\(\textstyle P_{X \ge t}(X \ge t+ h) = \frac{P((X \ge t) \cap (X \ge t+ h))}{P(X \ge t)} \)
(on applique la formule de la probabilité conditionnelle)
Or X ≥ t ∩ X ≥ t+h = X ≥ t+h (car [t;+∞[ ∩ [t+h;+∞[ = [t+h;+∞[) donc
\(\textstyle P_{X \ge t}(X \ge t+ h) = \frac{P((X \ge t+ h)}{P(X \ge t)} \)
\(\textstyle P_{X \ge t}(X \ge t+ h) = \frac{e^{- \lambda (t+ h)}}{e^{-\lambda t}} \)
d’après la formule vue un peu plus haut
\(\textstyle P_{X \ge t}(X \ge t+ h) = e^{- \lambda h} \)
\(\textstyle P_{X \ge t}(X \ge t+ h) = P(X \ge h) \)
Et voilà ! A savoir refaire évidemment…
Avec ces exercices sur la loi exponentielle, ça ne devrait pas te poser de problèmes^^
Surtout que ce sont des exercices d’annales de bac !! 
La loi normale est un peu plus compliquée que les précédentes, ce pourquoi on va très souvent se ramener à ce que l’on appelle une loi normale centrée réduite.
Qu’est-ce-que c’est que ce charabia ?
Tu dois tout d’abord savoir que loi normale se note N(μ ; σ2), le μ (prononcer mu) représente la moyenne de la variable, le σ (prononcer sigma) représente l’écart-type de la variable.
Le σ2 représente donc la variance de la variable.
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ATTENTION !!
Si on a une variable qui suit une loi N(4 ; 9), l’écart-type est de 3 car √9 = 3
Si on a une variable qui suit une loi N(5 ; 7), l’écart-type est de √7
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Le problème est que ce genre de loi n’est pas pratique pour les calculs, on se ramène donc souvent à une loi normale centrée réduite.
Ce que l’on une loi normale centrée réduite, c’est une N(0;1), c’est à dire que l’espérance vaut 0 et l’écart-type vaut 1 (car √1 = 1).
Oui mais comment passe-t-on de l’un à l’autre ?
Avec la formule suivante :
\(\displaystyle Si \, X \sim N(\mu \, ; \, \sigma^2 ) \)
\(\displaystyle alors \, \frac{X – \mu}{\sigma} \sim \, N(0 \ ; \ 1) \)
C’est là que tu vois toute l’importance de prendre en compte le sigma et non la variance, car on divise par sigma.
Exemple : Si X suit une loi N(2;6), alors la variable Y = (X – 2)/√6 suit une loi N(0;1).
Quel est l’intérêt d’une loi centrée réduite ? Comme son nom l’indique, elle est centrée, cela signifie qu’elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Concrètement, la densité (le f) d’une loi centrée réduite ressemble à cela :
Oui et alors ?
Et bien on va voir quelque chose d’intéressant : on a dit que
\(\textstyle P(X \gt t) = \int\limits_t^{+\infty} f(x) dx \)
Autrement dit c’est l’aire sous la courbe de f de t à +l’infini, car une intégrale est une aire (voir chapitre sur les intégrales). Graphiquement :
Mais si on fait P(X < -t), on obtient :
\(\textstyle P(X \lt -t) = \int\limits_{-\infty}^{-t} f(x) dx \)
Graphiquement :
Et comme on a dit que la loi était symétrique par rapport à l’axe des ordonnées :
\(\displaystyle P(X \gt t) = P(X \lt -t) \)
Pour une loi normale centrée réduite
Et pour calculer P(-t < X < t) ?
Et bien cela correspond à l’aire entre -t et t.
Or on a dit que
\(\textstyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1 \)
ce qui signifie que l’aire sous toute la courbe vaut 1.
Donc d’après ce schéma :
\(\textstyle Aire \ verte = 1 – Aire \ rouge \)
\(\textstyle P(-t \lt X \lt t) = 1 – Aire \ rouge \)
Et l’aire rouge ? Et bien c’est P(X < -t) + P(X > t). Or on a vu que ces deux probabilités étaient égales, donc :
Aire rouge = 2 P(X < -t) ou 2 P(X > t).
D’où :
\(\textstyle P(-t \lt X \lt t) = 1 – 2 P(X \lt -t) \)
\(\textstyle P(-t \lt X \lt t) = 1 – 2 P(X \gt t) \)
Cette formule n’est pas nécessairement à savoir par coeur mais il faut savoir la retrouver et surtout savoir faire le même type de raisonnement par rapport au fait que la densité d’une loi centrée réduite est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Dernière remarque : très souvent dans les exercices de terminale, on te donne un tableau avec les valeurs de P(X ≤ a) avec différentes valeurs de a.
Il faut donc savoir calculer les différentes probabilités en se ramenant toujours à ce type d’expression.
On a déjà vu que P(X ≥ a) = P(X ≤ -a).
Et pour P(a ≤ X ≤ b) ?
Et bien on dit que P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) – P(X ≤ a)
On comprend très bien cette formule avec le dessin suivant :
Ainsi par exemple : P(8 ≤ X ≤ 30) = P(X ≤ 30) – P(X ≤ 8)
Les lois à densité s’utilisent surtout dans le supérieur, après le bac.
Elles servent principalement à modéliser des variables qui ne prennent pas un nombre fini de valeurs (comme un dé) mais qui ont leurs valeurs dans un intervalle.
Par exemple un train peut arriver à n’importe quelle heure (même s’il y a un horaire prévu, les trains sont souvent en retard^^), son heure d’arrivée peut ainsi être modélisée par une variable aléatoire à densité.
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Merci beaucoup pour tous vos cours qui me permettent d’appréhender sereine ment l’année de terminale en maths. L’année prochaine je souhaite m’orienter vers une prépa MPSI. Je souhaiterais savoir si il serait possible d’avoir du cours pour cette classe en particulier.
Bonne fêtes de fin d’année.
Vos cours sont vraiment géniaux, merci pour tout!!! il faudrait créer une application qui les rassemble tous! ;b
Bonsoir, en ce qui concerne le cas de
P( a ≤ X ≤ b ), dans la loi normale, n’y aurait-il pas une erreur dans la loi ?
Pourquoi on a P( X ≤ b ) – P (X ≤ a) et pas
P( X ≥ a ) ?
Merci d’avance et vos cours sont vraiment géniaux !!!
Oui c’est bien la bonne formule, fais le graphiquement avec la densité tu comprendras mieux 🙂
merci beaucoup pour vos cours c’était trop génial , ça m’a aider à combler plusieurs lacunes !!