Sommaire

Vocabulaire
Union, intersection, complémentaire
Probabilités
Variables aléatoires et lois de probabilité
Espérance et variance/écart-type
Formule des probabilités totales
Indépendance
Ou/et
Epreuve de Bernoulli et loi binômiale
Le complémentaire
Les arbres
Exercices
Annales de bac
Intérêt des probabilités

Introduction
Nous ferons dans ce chapitre plusieurs rappels de notions que tu as déjà du voir en Seconde, c’est normal^^
Retiens-bien toutes les notions présentes ici car il y a des probabilités en Terminale et on rajoute de nouvelles formules et de nouvelles méthodes, il vaut donc mieux maîtriser dès cette année tout ce qui présenté ici.

Vocabulaire

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Il y a pas mal de vocabulaire spécifique aux probabilités, nous allons donc commencer par cela.

Tout d’abord, nous allons travailler dans un UNIVERS.
Un univers, c’est quoi ?
C’est tout simplement l’ensemble des choix possibles.
Si on tire à pile ou face, l’unviers est : « pile, et face ».
Si on tire une carte dans un jeu de 52 cartes, l’univers est l’ensemble des 52 cartes : « as de pique, 2 de pique, 3 de pique… »
Si on lance un dé, l’univers est « 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 »

L’univers est souvent noté Ω (à prononcer oméga), et l’ensemble des possibilités est noté entre ACCOLADES, et les différentes possibilités sont séparées par des points virgule :
Ω = { pile ; face }
Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}

Il arrive que l’on répète plusieurs fois de suite une expérience. Par exemple, on tire 2 fois à pile ou face et on regarde combien on a eu de piles et de faces. Il y a donc 4 possibilités :
Pile et pile
Pile et face
Face et pile
Face et face

Quand on est dans cette situation, on note chauqe possibilité entre parenthèses, et on sépare avec des points virgule :
Pile et pile ===> (pile ; pile)
Pile et face ===> (pile ; face)
Face et pile ===> (face ; pile)
Face et face ===> (face ; face)

Et du coup, on a
Ω = {(pile ; pile) ; (pile ; face) ; (face ; pile) ; (face ; face)}

Chaque élément de Ω est appelé EVENEMENT ELEMENTAIRE, parce qu’il n’y en a qu’un !
Pour le dé par exemple, « 1 » est un événement élémentaire, « 5 » est aussi un événement élémentaire.

On peut bien sûr avoir plusieurs événements élémentaires regroupés : c’est un événement.
Par exemple, « avoir un nombre pair » est un événement, constitué de 2, 4 et 6. Ce n’est donc pas un événement élémentaire puisqu’il y a plusieurs possibilités, c’est un événement tout court.
Un événement est souvent noté avec une lettre majuscule. Par exemple, on peut dire A = « avoir un nombre pair ».
Comme pour Ω on note ce qu’il y a dans un événement entre accolades.
Ici, A = « avoir un nombre pair », donc A = {2 ; 4 ; 6}.

Le nombre d’éléments d’un événement est appelé le CARDINAL. Il est noté card.
Par exemple, si A = {2 ; 4 ; 6}, card(A) = 3, car il y a 3 éléments.
Si B = {2 ; 8 ; 9 ; 56 ; 112}, card(B) = 5.

Généralement, on représente Ω et les événements par des « patates » :

Les tailles des patates n’ont aucune importance, c’est le principe qui est important. Nous allons voir tout de suite à quoi ça sert

Une dernière chose : l’ensemble vide.
L’ensemble vide, c’est quand il n’y a rien, mais alors vraiment rien de rien, même pas 0 !!
Si je te dis par exemple que A est l’ensemble des prénoms des personnes nées au 17ème siècle et encore vivantes, et bien A est l’ensemble vide !
Attention !! Je n’ai pas dit le NOMBRE de personnes, j’ai dit leur PRENOM. Si j’avais dis le nombre, là oui ça aurait été 0, mais ici ce sont les prénoms, il n’y en a donc pas.
L’ensemble vide se note de cette façon, un rond barré : ∅
On a donc ici A = ∅.

En probabilités on se sert assez peu de l’ensemble vide, généralement on s’en sert plutôt pour les solutions d’équations
Si on cherche par exemple les solutions réelles de l’équation x² = -2, il n’y en a pas, donc l’ensemble des solutions S = ∅.

Union, intersection, complémentaire

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On fait souvent des opérations sur les événements : des unions, des intersections, et des complémentaires.

L’intersection, c’est très simple, c’est ce qu’il y a en commun ! Le signe de l’intersection est ∩, un u majuscule renversé !
Si par exemple on a 2 événements A et B et qu’on veut faire leur intersection, on note A ∩ B. Cela se lit « A inter B ».

Imaginons que A= »avoir un nombre pair » et B= »avoir un nombre supérieur ou égal à 3″.
A = {2 ; 4 ; 6}, et B = {3 ; 4 ; 5 ; 6}
On voit que ce qu’il y a en commun, est 4 et 6, donc A ∩ B = {4 ; 6}.

Graphiquement, A ∩ B est la zone où il y a les 2 patates en même temps :

L’union de A et B, c’est prendre tout ce qu’il y a dans A et dans B, mais bien sûr on ne peut qu’une fois ce qu’il y a en commun.
L’union se note ∪, un u majuscule comme union quoi ! Comme l’intersection,on note A ∪ B, et on lit « A union B ».

Reprenons l’exemple A = {2 ; 4 ; 6}, et B = {3 ; 4 ; 5 ; 6}
Il y a le 2, le 3, le 4, le 5 et le 6. Il y a 4 et 6 dans A et B mais on ne le prend qu’une seule fois, donc :
A ∪ B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}

Graphiquement, c’est toute la zone couverte par A et B :

Nous allons te donner une formule qui n’est pas mathématiquement correcte mais qui permettra d’expliquer une formule dans le chapitre suivant :

Si tu n’arrives pas à comprendre cette formule, voilà l’explication : on a dit que A ∪ B était tout ce qu’il y avait dans A et B. On prend donc A + B. Mais du coup on prend 2 fois tout ce qui est en commun !
Il faut donc enlever un « exemplaire » de chaque élément qui était en commun. Or ce qui est en commun c’est… l’intersection !
On enlève donc A ∩ B, comme ça il n’y a plus rien en double !

—
ATTENTION !! Cette formule n’est pas mathématiquement correcte car on a ajouté et soustrait des ensembles !!
Or sur des ensembles, on ne fait que des unions et des intersections ! Mais ici c’est plus pour que tu puisses comprendre
—

Enfin, la dernière opération que l’on fera sur des événements : le complémentaire. Il se note , et se prononce « a barre », comme pour les complexes, mais ça n’a rien à voir !!
C’est très simple, le complémentaire de A, c’est tout ce qu’il n’y a pas dans A ! Mais qui est dans Ω bien sûr

Par exemple le dé, Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, et A = {2 ; 4 ; 6}.

Si B = {1 ; 5 ; 6}

C’est extrêmement simple !
Graphiquement, correspond à tout ce qui n’est pas dans A :

Probabilités
Bon après le gros chapitre d’introduction, il serait peut-être temps de parler de probabilité non ?
Une probabilté, on peut dire que c’est « la chance » que l’on a d’obtenir un événement.
Par exemple, si on appelle A l’événement « obtenir pile », p(A) = ½ car on a une chance sur 2 d’avoir pile (si la pièce n’est pas truquée bien sûr ).

Pour une pièce c’est facile, mais parfois c’est beaucoup plus compliqué. Alors comment faire pour calculer une probabilté ?
Tout dépend du contexte, parfois on est dans des cas particuliers comme une loi binomiale (que l’on verra plus tard), mais on a aussi des situations simples :
si on prend un dé, tous les événements (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6) ont la même probabilité d’être tirés. On a alors une formule très sympathique dans ce cas là :
pour un événement A :

Ce qui signifie :

Si par exemple A = « avoir un nombre supérieur ou égal à 3  » , on a alors
A = {3 ; 4 ; 5 ; 6}, donc card(A) = 4.
De plus, Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, donc card(Ω) = 6. Donc :

Il y a évidemment d’autres cas dont nous parlerons plus loin, mais la propriété ci-dessus est très souvent utilisée

Une chose très importante à retenir : une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 !!

Si P(A) = 0, A est un événement IMPOSSIBLE, comme le fait d’obtenir 7 en lançant un dé.
Si P(A) = 1, A est un événement CERTAIN, c’est-à-dire qu’il est obligé d’arriver, comme le fait d’obtenir un nombre positif en lançant un dé par exemple.

Du coup, si un jour tu calcules une probabilité et que tu trouves un nombre plus grand que 1, comme 5 ou 12 par exemple,C’EST FORCEMENT FAUX !! Il faut alors revoir le raisonnement pour trouver la faute^^

Variables aléatoires et lois de probabilités

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Une variable aléatoire est une application, qui à une éventualité fait correspondre un nombre généralement, mais tu comprendras mieux au fur et à mesure avec des exemples.

Prenons un exemple justement. Supposons que l’on a un dé.
On définit la variable aléatoire X ainsi :
si l’on obtient 1 ou 2, on gagne 2 euros, donc X vaut +2
si l’on obtient 3 ou 4, on ne gagne rien, donc X vaut 0
si l’on obtient 5 ou 6, on perd 3 euros, donc X vaut -3

X correspond ici au gain algébrique. « Algébrique » signfie que le gain est négatif quand on perd, et positif quand on gagne.
On peut résumer la situation par un tableau :

valeur du dé	1 ; 2	3 ; 4	5 ; 6
X	+2	0	-3

On définit alors une LOI DE PROBABILTE, qui correspond à la probabilité d’obtenir chacune des valeurs de X, donc +2, 0 et -3.

Quand on te demande de déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire X il faut donc :
1) déterminer toutes les valeurs que peut prendre X, que l’on note x₁, x₂, x₃…
2) Pour chaque valeur, déterminer la probabilité : P(x₁), P(x₂)…que l’on note aussi P(X=x₁), P(X=x₂)…

Ici on est dans le cas ci-dessus où tous les événements (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6) ont la même probabilité d’être tirés. On a donc :

De même :

On peut donc compléter notre tableau :

valeur du dé	{ 1 ; 2 }	{ 3 ; 4 }	{ 5 ; 6 }
X = xi	+2	0	-3
p( X = xi)	⅓	⅓	⅓

Et voilà, on a déterminé notre loi de probabilité ! C’est tout simplement la dernière ligne, où on a toutes les probabilités pour chaque valeur de X. Ici c’est un cas partiulier, ce sont toutes les mêmes probabilités : ⅓.
Une petite remarque au passage : pour dire toutes les possibilités de X, on le note comme pour un ensemble, avec des accolades, mais on note X(Ω)

Ici, X(Ω) = {-3 ; 0 ; +2}.
Si possible, remets les valeurs dans l’ordre croissant comme ici, c’est toujours mieux d’écrire {-3 ; 0 ; 2} que {2 ; -3 ; 0}

Ce qui est important c’est que tu retiennes la méthode pour déterminer une loi de probabilité : déterminer toutes les valeurs possibles que peut prendre la variable aléatoire, puis la probabilité de chacune de ces valeurs.

Une propriété très importante : la somme des probabilités pour une variable aléatoire vaut 1 !!!!

Dans notre exemple c’est bien le cas, puisque ⅓ + ⅓ + ⅓ = 1.

Cette propriété a deux utilités : tout d’abord pour vérifier si ce que l’on a trouvé est juste. On additionne toutes les probabilités et on voit si ça vaut 1.
Attention cependant, ce n’est pas parce que ça vaut 1 que c’est juste, mais si ça ne vaut pas 1, c’est FORCEMENT FAUX !!
A ce moment-là il faut chercher où tu as fait une erreur.
Deuxième utilisation : calculer une probabilité !

Imaginons que X puisse valoir 5, 6 ou 7, et que l’on sait que P(X=5) = ½ et
P(X=7) = ⅓, et que l’on cherche P(X = 6).
On dit tout simplement :
P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 1
Donc P(X=6) = 1 – P(X=5) – P(X=7) = 1/6.

Et voilà, on a trouvé P(X=6) sans avoir à trouver une autre méthode.
L’inconvénient c’est que si on s’est trompé à P(X=5) ou P(X=7), P(X=6) est faux. N’utilise donc cette méthode que si tu es certain des résultats que tu as trouvés avant

Il est fondamental que tu t’entraînes avec ces exercices sur les variables aléatoires pour être au point sur la méthode et les calculs à effectuer

Espérance et variance/écart-type

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L’espérance, c’est en gros ce qu’on peut ESPERER obtenir EN MOYENNE comme résultat à la fin de l’expérience.
Si on reprend l’exemple au dessus avec le dé, l’espérance de X correspond au gain moyen que l’on a en lançant le dé.
Il y a bien sûr une formule pour l’espérance de X, que l’on note E[X] :
Si on a X(Ω) = {x₁ ; x₂ ; … x_n}, alors :

Reprenons notre exemple de tout à l’heure :
X(Ω) = {-3 ; 0 ; +2}. Alors :

L’espérance est de -1/3, donc négative, ce qui est logique vu que l’on perd plus d’argent qu’on ne gagne et qu’il y autant de possibilités de perdre, gagner, ou n’avoir rien du tout.
Vérifie toujours la cohérence du résultat avec la situation, ça peut t’aider à vérifier si tu t’es trompé ou pas

L’espérance de -1/3 signifie que EN MOYENNE, si on joue un très grand nombre de fois, c’est comme si on avait perdu -1/3 d’euros à chaque partie.

En plus de l’espérance, on peut calculer la variance de X, notée V(X). La formule est la suivante :

Comme tu le vois c’est un peu horrible, mais en fait c’est la même formule qu’au-dessus sauf qu’on remplace x_i par (x_i-E([X])²
Il y a alors une autre formule pour calculer plus facilement la variance :

On va utiliser cette formule pour calculer la variance de l’exemple ci-dessus :

Avec la 2ème formule c’est plus rapide, et ce n’est pas si long que ça
Remarquons au passage que la variance est toujours positive car c’est une somme de valeurs positives (d’après la 1ère formule).

La variance en elle-même n’a pas beaucoup d’importance, c’est l’écar-type qui est intéressant. Il est noté σ (prononcer sigma) et a tout simplement pour formule :

L’écart-type représente la dispersion autour de la moyenne. Avec un petit exemple ce sera plus simple

On va prendre le dernier contrôle de ta classe. Supposons que la moyenne soit de 12, et que l’écart-type soit de 2.
Cela signifie que la majorité des notes sont entre 12-2 et 12+2, donc la plupart des élèves ont entre 10 et 14.

La variance n’est pas quelque chose de fondamental en Terminale, tu verras plus souvent l’espérance, donc ne te focalise pas trop sur la variance (tu dois être soulagé de ne pas avoir à retenir ces horribles formules )

A noter que dans le cas où l’on a des lois particulières (comme la loi binomiale), il y a une formule toute faite très simple pour l’espérance et la variance, donc pas besoin de longs calculs

Quelques exercices sur l’espérance ne feront pas de mal^^

Formule des probabilités totales

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Cette formule dit la chose suivante :
Si B₁, B₂…B_n est une partition de Ω, alors :

Mais qu’est-ce-qu’une partition de Ω ?
Une partition, c’est quand on sépare l’espace Ω en plusieurs parties DISJOINTES, c’est-à-dire qu’elles n’ont pas d’élément commun, et quand on fait l’union de toutes les parties, on doit retrouver Ω.
Graphiquement ça donne cela :

Les différentes parties ne se chevauchent pas, et quand on les prend toutes on a Ω.
Ici on a découpé en 5 mais on peut découper en autant de parts qu’on veut.

Par exemple, pour le dé, Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
On peut prendre : B₁ = {1 ; 2 ; 3}, B₂ = {4 ; 6}, et B₃ = {5}
On a bien B₁ ∪ B₂ ∪ B₃ = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} = Ω, et tous les B_i n’ont aucun point commun entre eux.
B₁, B₂, B₃ est donc bien une partition de Ω.

En revanche, B₁ = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, B₂ = {4 ; 6}, et B₃ = {5}, n’est pas une partition de Ω car B₁ ∩ B₂ = {4} ≠ ∅.

Graphiquement, cela correspond à prendre toutes les branches se terminant par A si l’on cherche P(A) :

Ici, on cherche P(A) : on voit que l’on peut passer par B₁, B₂, B₃ etc… ou B_n
Donc P(A) = P(A ∩ B₁) + P(A ∩ B₂) + P(A ∩ B₃) + … + P(A ∩ B_n)

On utilisera cela dans les exercices tout à l’heure

Indépendance

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Deux événements sont dits indépendants s’ils n’ont pas d’influence l’un sur l’autre.
Par exemple, si on lance un dé et qu’on le relance après, le résultat du deuxième lancer ne dépend pas du premier lancer : les 2 lancers sont donc indépendants.

Il y a alors une formule très importante à retenir :
Si A et B sont indépendants :

En revanche, si les 2 événements ne sont pas indépendants, on utilise le fait que :

—
ATTENTION ! On rappelle que les 2 premières formules ne sont pas mathématiquement correctes car on a ajouté des ensembles, alors qu’on ne doit faire que des unions et des intersections. Cependant, ces formules permettent d’expliquer la 3ème formule qui elle est correcte, puisqu’on ajoute et soustrait des PROBABILITES, c’est-à-dire des nombres.
—

Ou / Et

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Souvent dans les énoncés tu verras les mots « et » et « ou ». Il faut alors traduire ces mots sous forme mathématiques.
En fait c’est très simple : le « et » correspond à l’intersection, le « ou » correspond à l’union !

Exemple : on tire une carte dans un jeu de cartes. On cherche la probabilité d’obtenir un trèfle OU un roi.
Et bien si on appelle A = « obtenir un trèfle » et B = « obtenir un roi », cela revient à cherche P(A ∪ B) !!
On utilisel l’union car on avait « ou » dans l’énoncé.
De plus, OU est souvent associé à une addition, donc « + ». On s’en servira tout à l’heure.

En revanche, si on cherche la probabilité d’obtenir un trèfle ET un roi, cela revient à calculer P(A ∩ B).
On utilisel l’intersection car on avait « et » dans l’énoncé.
Enfin, ET est souvent associé à une multiplication, donc « × ». On s’en servira également tout à l’heure.

On verra cela plus tard dans les exercices^^

Ou/et

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Souvent dans les énoncés tu verras les mots « et » et « ou ». Il faut alors traduire ces mots sous forme mathématiques.
En fait c’est très simple : le « et » correspond à l’intersection, le « ou » correspond à l’union !

Exemple : on tire une carte dans un jeu de cartes. On cherche la probabilité d’obtenir un trèfle OU un roi.
Et bien si on appelle A = « obtenir un trèfle » et B = « obtenir un roi », cela revient à cherche P(A ∪ B) !!
On utilisel l’union car on avait « ou » dans l’énoncé.
De plus, OU est souvent associé à une addition, donc « + ». On s’en servira tout à l’heure.

En revanche, si on cherche la probabilité d’obtenir un trèfle ET un roi, cela revient à calculer P(A ∩ B).
On utilisel l’intersection car on avait « et » dans l’énoncé.
Enfin, ET est souvent associé à une multiplication, donc « × ». On s’en servira également tout à l’heure.

On verra cela plus tard dans les exercices^^

Epreuve de Bernoulli et loi binomiale

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On arrive là à une partie intéressante car on la retrouve souvent dans les exercices. Tout d’abord sache qu’il y a une EPREUVE de Bernoulli et un SCHEMA de Bernoulli, fait attention à bien faire la différence.

Commençons par le commencement : une EPREUVE de Bernoulli, c’est une épreuve où il y a 2 issues : succès, ou échec.
A pile ou face, on peut dire que pile est un succès, et face un échec. Lancer une pièce est donc une épreuve de Bernoulli.
Avec un dé, on peut dire que obtenir un 5 est un succès, et obtenir un autre chiffre un échec. Dans ce cas-là, un lancer de dé correspond à une épreuve de Bernoulli.

Il y a alors 2 paramètres : p, qui est la probabilité de succès, et q, qui est la probabilité d’échec.
Comme il n’y a que 2 possibilités et que la somme des probabilités vaut 1, on a donc :

—
p + q = 1
c’est-à-dire
q = 1 – p
—

Ainsi, il suffit de donner la valeur de p, et on a automatiquement la valeur de q.
Si p = 0.6, q = 1 – 0.6 = 0.4.

On peut alors avoir des variables aléatoires que l’on dit distribuées selon des épreuves de Bernoulli.
Exemple : on lance un dé, la variable aléatoire X vaut 1 si on obtient un 5 (succès), et 0 si on obtient un autre chiffre (échec). On a bien 2 possibilités pour X (0 ou 1) : c’est une épreuve de Bernoulli.
Et on a : p = P(X = 1) = P({5}) = 1/6,
et q = P(X = 0) = P({1;2;3;4;6}) = 5/6
On a bien p + q = 1

Mais on peut répéter plusieurs fois de suite cette expérience, n fois de suite : c’est ce qu’on appelle un schéma de Bernoulli.
Un schéma de Bernoulli, c’est donc quand on fait n fois de suite DE FACON INDEPENDANTE une épreuve de Bernoulli, tout simplement.
Une variable aléatoire peut bien sûr suivre un schéma de Bernoulli, et on compte le nombrede succès : c’est ce qu’on appelle une loi binomiale.

Reprenons l’exemple de tout à l’heure avec le dé : 5 = succès, autre chiffre = échec. On lance n fois de suite le dé DE FACON INDEPENDANTE.
Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de fois que l’on a eu 5 (autrement dit le nombre de succès).
Et bien X suit une loi binomiale (ou un schéma de Bernoulli, c’est pareil), de paramètres n et p.

—
ATTENTION ! Pour une EPREUVE de Bernoulli il n’y a qu’un paramètre (la probabilité de succès p).
Mais un SCHEMA de Bernoulli (ou loi binomiale), il y a 2 paramètres : p, et n, le nombre de fois que l’on répète l’expérience.
—

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on note :

X compte le nombre de succès, or on fait n expériences. X peut donc valoir 0, 1, 2, 3…n, puisque l’on peut gagner 0 fois, 1 fois, 2 fois… ou n fois.
Pour déterminer la loi de probabilité de X, il faut donc calculer P(X=0), P(X=1), P(X=2)…P(X=n) (d’après ce qu’on a dit plus haut sur les lois de probabilité).
Oui mais si n vaut 1 million…

Heureusement il y a une formule toute prête
Pour tout k compris entre 0 et n :

Oulala, qu’est-ce que c’est que ce truc ?
Petite explication : on cherche P(X=k), c’est-à-dire la probabilité d’obtenir k succès.
Il faut d’abord choisir quelles expériences parmi les n vont être des succès, et comme on veut k succès, c’est :

Ensuite il faut que l’on ait k succès, et la probabilité de succès est p, donc :

Et enfin, comme il y a k succès et n épreuves, il y a… n-k échecs ! Et comme la probabilité d’échec est q, cela donne :

On multiplie tout ça, et ça donne :

Bon un petit exemple ne sera pas de trop je pense
Toujours le même exemple, on lance le dé 3 fois de suite (donc n = 3),
succès = 5, échec = autre chiffre.
On a vu que p = 1/6, q = 5/6.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès à l’issue des trois lancers.
On cherche la loi de probabilité de X.

Il est évident que X suit une loi binomiale car on répète 3 fois DE FACON INDEPENDANTE une épreuve de Bernoulli.
X peut valoir 0, 1, 2, ou 3. Il faut donc calculer P(X=0), P(X=1), P(X=2) et P(X=3).
Pour cela, on applique la formule :

Et on recommence pour 1, 2, et 3 !

————

————

Et bien sûr, quand on additionne tout, on doit trouver 1

La somme des probabilités vaut bien 1, c’est donc cohérent (mais ce n’est pas obligatoirement bon^^).

Concernant l’espérance et la variance, ça va être très facile :

Encore le même exemple du dé : on avait p = 1/6, et n = 3,
donc E[X] = 3 × 1/6 = ½, tout simplement !

—
ATTENTION !!!
Tu as remarqué que l’on a accentué sur le fait que les événements devaient être INDEPENDANTS pour que l’on puisse avoir une loi binomiale. Généralement il n’y a pas de piège à ce niveau là, mais il faut absolument que tu justifies !
En effet, parfois tu dois prouver que c’est une loi binomiale. Il faut alors que tu dises « comme on répète n fois une épreuve de Bernoulli et que les événements sont INDEPENDATNS, X suit une loi binomiale ».
N’oublie pas ce petit détail, car ainsi le correcteur verra que tu as bien compris le cours
—

Avant d’entamer des exercices sur les lois binômiales, il convient de parler du complémentaire, car des questions à ce sujet reviennent souvent quand il y a des lois binômiales^^.

Complémentaire

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Nous avons parlé dans le chapitre « introduction » du complémentaire : nous allons voir ici comment l’utiliser.

—
Tout d’abord : ATTENTION !
Le contraire (ou complémentaire) de ≥ est <,
de même que le contraire de ≤ est > !!!
Ce qu’il faut retenir, c’est que quand il y a le « égal » dans un signe, obligatoirement il n’est pas dans l’autre !!
—

Exemple : pour un dé, on peut prendre A = « les chiffres supérieur ou égal à 3  » .
Donc A = {3 ; 4 ; 5 ; 6}
Le complémentaire de A est : « les chiffres STRICTEMENT inférieurs à 3 », donc {1 ; 2}.
Ce qui est logique puisque A = {3 ; 4 ; 5 ; 6}.

Il y a alors une formule très importante à retenir :

Ainsi :

—
P(X ≥ k) = 1 – P(X < k)
P(X > k) = 1 – P(X ≤ k)
P(X ≤ k) = 1 – P(X > k)
P(X < k) = 1 – P(X ≥ k)
—

L’utilisation la plus fréquente du complémentaire est la suivante :
On lance 30 fois une pièce : pile = succès, face = échec.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de pile (donc le nombre de succès) : X suit donc une loi binomiale.
On cherche la probabilité de gagner AU MOINS 1 partie. C’est-à-dire P(X ≥ 1).

On applique alors ce que l’on a appris juste avant :
P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1)

Or X vaut 0, 1, 2…30, donc si X < 1, X = 0 !!!!

Ainsi : P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0)

Et pour calculer P(X = 0), ici c’est une loi binomiale donc on applique la formule que l’on a apprise tout à l’heure, mais bien sûr cela marche avec toutes les lois et pas seulemennt avec la binômiale

Ce qu’il faut retenir : quand il y a AU MOINS dans la question, on passe forcément par le complémentaire !
De plus, au moins K veut dire ≥ K, donc le complémentaire est : < K.

Tu vois maintenant l’intérêt du complémentaire pour les lois binômiales, et il y a justement des questions à ce propos dans ces exercices sur la loi binomiale.

Les arbres

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Dans presque tous les exercices de probabilité, il est essentiel de faire un arbre !
Tout simplement parce qu’ils permettent de résoudre certaines questions immédiatement !! En faire un au début de l’exercice et le compléter au fur et à mesure n’est donc pas une perte de temps, au contraire

Mais comment faire un arbre ?
Il faut toujours partir d’un point central, qui se divise après en branches. Chaque branche se redivisant après en d’autres branches, etc…

A chaque fois, il y a autant de branches que de possibilités différentes. Avec un exemple ce sera plus simple^^
On a 4 boules blanches et 5 boules vertes dans une urne, et on tire 3 fois AVEC REMISE une boule (on remet dans l’urne la boule qu’on a tirée)
On note B l’événement « tirer une boule Blanche » et V l’événement « tirer une boule Verte ».

Au 1er tirage, on a 2 choix : V et B (soit on tire une boule blanche, soit on tire une boule verte) :

Au 2ème tirage, on a aussi 2 choix A CHAQUE FOIS : il y a donc 2 branches qui partent de V, et 2 qui partent de B.

Et enfin pour le 3ème tirage, on a de nouveau 2 choix à chaque fois :

Et voilà on a notre arbre tout joli .
Il ne reste plus qu’à décorer les branches comme un sapin de Noël compléter les branches avec les probabilités de chaque événement.

Ici c’est simple : il y a 9 boules en tout, 4 blanches et 5 vertes, et ce pour chaque tirage puisque c’est AVEC remise.
La probabilité de tirer une boule blanche est donc de 4/9 et une verte de 5/9 :

Il faut alors mettre cette probabilté sur chaque branche correspondante :

Bon c’est sûr c’est un peu surchargé^^ Mais pour certaines questions c’est beaucoup plus simple !

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Remarque importante !!
A chaque fois qu’une branche se redivise en d’autre branches, la somme des probabilités des branches doit valoir 1 !!
Exemple :

Il y a 2 choses à remarquer ici :
Tout d’abord on vérifie que la somme des probabilités en rouge vaut bien 1 :
1/8 + 2/8 + 5/8 = 1 : il n’y a pas de souci.
Si on n’avait pas trouvé 1, c’est qu’il y aurait eu une erreur.
Cela permet donc de vérifier qu’on ne s’est pas trompé (mais ce n’est par parce qu’on trouve 1 que c’est forcément vrai…).
Ensuite, si on veut calculer la probabilité marquée d’un point d’interrogation, on utilise le fait que la somme des probabilités en vert vaut 1 !!
Appelons x cette probabilité, on a :
1/9 + x + 3/9 = 1
x = 1 – 1/9 – 3/9 = 5/9
Et voilà, on a trouvé la probabilité inconnue grâce au fait que la somme des probabilités vaut 1.
Avec l’arbre c’est tout de suite visible, d’où l’intérêt d’en faire
Prends donc l’habitude de vérifier que la somme des probabiltiés sur une branche qui se divise vaut 1, et pense à utiliser cette propriété pour calculer certaines probabilités que tu ne connais pas.
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Mais il y a également d’autres manières de calculer simplement certaines probabilités avec les arbres !
Imaginons que l’on cherche la probabilité que la deuxième boule soit blanche.
On prend alors tous les chemins qui ont B en 2ème position, coloriés en rouge sur le schéma :

Il faut alors ADDITIONNER les différents chemins (car c’est OU, on ne peut pas prendre 2 chemins en même temps, et tu te souviens que le OU correspond au « + »).
Pour chaque chemin, on MULTIPLIE les différentes branches rencontrées (car c’est ET, on prend la 1ère branche, ET la 2ème, ET la 3ème, et tu te souviens que le ET correspond au « × »).

Le chemin B-B-B a donc pour probabilité :

Le chemin B-B-V a pour probabilité :

Et de même pour les 2 autres chemins. Il ne reste plus qu’à additionner ces chemins.

Si on appelle A l’événement « obtenir une boule blanche en 2ème position, on a alors :

Il y a bien sûr plein d’autres arbres différents, on en avait fait un autre dans le chapitre précédent, tu peux toujours retourner le voir.
Mais le mieux est encore de regarder ces exercices sur la construction d’arbres !
En plus ce sont des exercices tirés d’annales du bac !!

Exercices

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Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les probabilités !

Annales de bac

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Pour être au top avec les probabilités, fais ces annales de bac afin de voir si tu as bien tout compris !

Intérêt des probabilités
Les probabilités sont une des grandes parties des mathématiques, avec l’algèbre et l’analyse.

Elles sont sont très utilisées dans le domaine du jeu, comme les casinos ou les paris sportifs. Elles ont bien sûr d’autres applications dans le domaine industriel notamment pour évaluer les risques de panne, ou le domaine climatique pour mesurer les risques de catastrophe naturelles.
La loi exponentielle que l’on a vu sert en particulier à modéliser des phénomènes de file d’attente, pour les transports en commun par exemple. On s’en sert également pour les feux rouges, afin de savoir comment les régler pour que le trafic soit le plus fluide possible en fonction du nombre de voitures, etc…

Les probabilités sont reliées aux statistiques, très utilisées dans le domaine politique avec les sondages par exemple.

Le principal intérêt des probabilités est de pouvoir donner des mesures sur des grandeurs incertaines. En effet, une probabilité reste une probabilité, ce n’est pas une valeur exacte qui reflète forcément ce qui va se passer : si on lance une pièce, on ne va tomber une fois sur deux sur pile ou face. Néanmoins les probabilités permettent de donner des valeurs assez précises des phénomènes observés. En statistiques, on fait parfois des estimations, qui permettent de donner des valeurs sur des grandeurs dont il est difficile de donner des valeurs précises.

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