Sommaire
Introduction
Linéariser avec les formules d’Euler
Linéariser avec la trigonométrie
Exercices
La linéarisation consiste à transformer une fonction avec des cosinus et des sinus à une certaine puissance (cosn(x) et sinn(x)) en somme de cos(ax) et sin(bx), avec a et b entiers.
On va ainsi par exemple montrer que :
\(\displaystyle cos^3(x) = \frac{cos(3x) + 3 cos(x)}{4} \)
L’intérêt est notamment de pouvoir trouver des primitives : la primitive de cos3(x) est très simple à trouver avec l’expression ci-dessus.
Dans le cas général, on cherchera à linéariser cosn(x) × sinm(x) ave n et m entiers.
Nous verrons d’abord comment faire quand on a uniquement cosn(x) ou sinm(x), puis le cas général.
Il existe plusieurs méthodes pour linéariser une fonction, nous allons les détailler ci-dessous.
La méthode la plus simple est d’utiliser les formules d’Euler.
On rappelle que les formules d’Euler sont :
\(\displaystyle cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \)
\(\displaystyle sin(x) = \frac{e^{ix} – e^{-ix}}{2i} \)
On utilisera également ces formules sous la forme :
\(\textstyle e^{ix} + e^{-ix} = 2cos(x) \)
\(\textstyle e^{ix} – e^{-ix} = 2isin(x) \)
A noter qu’il faut toujours que exp(ix) soit avant exp(-ix), surtout pour le sin. Si ce n’est pas le cas, on factorisera d’abord par -1.
Exemple : imaginons que l’on ait :
\(\displaystyle e^{-3ix} – e^{3ix} \)
On voit que que exp(-3ix) est avant exp(3ix), on factorise donc d’abord par -1 avant d’appliquer Euler :
\(\displaystyle e^{-3ix} – e^{3ix} = -(e^{3ix} – e^{-3ix}) \)
\(\displaystyle e^{-3ix} – e^{3ix} = -(2isin(3x)) \)
Les remarques préliminaires faites, commençons maintenant par un exemple simple : cos3(x)
\(\displaystyle cos^3(x) = (\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2})^3 \)
\(\displaystyle cos^3(x) = \frac{1}{8}(e^{ix} + e^{-ix})^3 \)
Il faut donc maintenant développer (a + b)3, ce qui est assez simple (si on avait eu (a+b)7 cela aurait été plus compliqué…).
Il s’agit d’appliquer le binôme de Newton : se reporter à la vidéo sur le triangle de Pascal pour plus de précisions sur le développement de (a + b)n
\(\displaystyle cos^3(x) = \frac{1}{8}(e^{3ix} + 3e^{2ix}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-2ix} + e^{-3ix}) \)
\(\displaystyle cos^3(x) = \frac{1}{8}(e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}) \)
Il faut maintenant regrouper ensemble les exponentielle avec les mêmes puissances (au signe – près) pour pouvoir réutiliser les formules d’Euler dans l’autre sens :
\(\displaystyle cos^3(x) = \frac{1}{8}(e^{3ix} + e^{-3ix} + 3(e^{ix} + e^{-ix})) \)
Au passage, on a factorisé par 3 dans la parenthèse pour avoir uniquement des sommes d’exponentielles.
On réutilise alors les formules d’Euler :
\(\displaystyle cos^3(x) = \frac{1}{8}(2cos(3x) + 3(2cos(x))) \)
On simplifie par 2 :
\(\displaystyle cos^3(x) = \frac{1}{4}(cos(3x) + 3cos(x)) \)
On retrouve la formule vue précédemment ! 
Ici le calcul était relativement simple, voyons ce que cela donne avec un sinus :
\(\displaystyle sin^3(x) = (\frac{e^{ix} – e^{-ix}}{2i})^3 \)
\(\displaystyle sin^3(x) = \frac{1}{-8i}(e^{ix} – e^{-ix})^3 \)
On voit déjà une difficulté supplémentaire avec le i au dénominateur.
On développe maintenant comme précédemment :
\(\displaystyle sin^3(x) = \frac{-1}{8i}(e^{3ix} – 3e^{2ix}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-2ix} – e^{-3ix}) \)
\(\displaystyle sin^3(x) = \frac{-1}{8i}(e^{3ix} – 3e^{ix} + 3e^{-ix} – e^{-3ix}) \)
Il faut maintenant regrouper ensemble les exponentielle comme précédemment :
\(\displaystyle sin^3(x) = \frac{-1}{8i}(e^{3ix} – e^{-3ix} – 3(e^{ix} – e^{-ix})) \)
Au passage, on a factorisé par -3 (et non par 3) pour avoir l’exponentielle « positive » en premier afin de réutiliser Euler :
\(\displaystyle sin^3(x) = \frac{-1}{8i}(2isin(3x) – 3(2isin(x))) \)
On simplifie par 2i :
\(\displaystyle sin^3(x) = \frac{-1}{4}(sin(3x) – 3sin(x)) \)
On peut rentrer le signe – dans la parenthèse :
\(\displaystyle sin^3(x) = \frac{3sin(x) – sin(3x)}{4} \)
Ces formules ne sont pas à apprendre par cœur, il faut surtout savoir les redémontrer.
Comme tu le vois le principe est assez simple, le seul problème est quand la puissance est assez grande car le développement avec le binôme de Newton amène à de nombreux termes
Tu as peut-être remarqué que le développement de cos3(x) ne contient que des cosinus, et celui de sin3(x) ne contient que des sinus, est-ce normal ?
Oui !
En effet :
—
Si la fonction à linéariser est paire, on obtiendra au final que des cosinus (car cos est paire)
Si la fonction à linéariser est impaire, on aura au final que des sinus (car sin est impaire).
—
Dans le cas général, on cherche à linéariser cosn(x) × sinm(x)
Là encore il est préférable que n et m soient petits, au risque d’avoir des expressions très grandes.
Voyons ce que cela donne pour cos3(x) × sin3(x).
Le début reste le même, on développe avec Euler :
\(\displaystyle cos^3(x)sin^3(x) = (\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2})^3 (\frac{e^{ix} – e^{-ix}}{2i})^3 \)
\(\displaystyle cos^3(x)sin^3(x) = \frac{1}{-64i}(e^{ix} + e^{-ix})^3 (e^{ix} – e^{-ix})^3 \)
On développe avec le binôme de Newton (on a sauté quelques étapes en réutilisant le résultat trouvé précédemment) :
\(\displaystyle cos^3(x)sin^3(x) = \frac{1}{-64i}(e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}) (e^{3ix} – 3e^{ix} + 3e^{-ix} – e^{-3ix}) \)
Maintenant attention, il ne s’agit pas de regrouper comme ci-dessus, il faut d’abord développer les exponentielles.
Après simplification, on trouve :
\(\displaystyle cos^3(x)sin^3(x) = \frac{1}{-64i}(e^{6ix} – e^{-6ix} -3(e^{2ix} – e^{-2ix})) \)
Et on utilise Euler :
\(\displaystyle cos^3(x)sin^3(x) = \frac{1}{-64i}(2isin(6x) – 3(2isin(2x))) \)
\(\displaystyle cos^3(x)sin^3(x) = \frac{1}{-32}(sin(6x) – 3sin(2x)) \)
La méthode est la même, mais il faut bien penser à développer les parenthèses avec les exponentielles avant d’utiliser les formules d’Euler.
L’autre méthode que tu pourras rencontrer est l’utilisation des formules de trigonométrie.
Les formules à connaître ici sont les suivantes :
\(\displaystyle cos(a)cos(b) = \frac{1}{2}(cos(a+ b) + cos(a – b)) \)
\(\displaystyle sin(a)sin(b) = \frac{1}{2}(cos(a+ b) – cos(a – b)) \)
\(\displaystyle sin(a)cos(b) = \frac{1}{2}(sin(a+ b) + sin(a – b)) \)
Voyons un exemple.
Imaginons que l’on ait linéarisé cos3(x) et sin3(x) avec les formules d’Euler.
On avait trouvé :
\(\displaystyle cos^3(x) = \frac{cos(3x) + 3 cos(x)}{4} \)
\(\displaystyle sin^3(x) = \frac{3sin(x) – sin(3x)}{4} \)
Pour linéariser cos3(x) × sin3(x), on peut développer et utiliser les formules de trigo précédentes :
\(\textstyle cos^3(x) \times sin^3(x) = (\frac{cos(3x) + 3 cos(x)}{4}) \times (\frac{3sin(x) – sin(3x)}{4}) \)
\(\textstyle cos^3(x) \times sin^3(x) = \frac{1}{16}(3cos(3x)sin(x) – cos(3x)sin(3x) + 9cos(x)sin(x) – 3cos(x)sin(3x)) \)
On utilise alors la formule de cos(a)sin(b) ci-dessus, nous ne le détaillerons pas ici car ce serait trop long, mais tu peux t’entraîner et vérifier que l’on retrouve bien :
\(\displaystyle cos^3(x)sin^3(x) = \frac{1}{-32}(sin(6x) – 3sin(2x)) \)
Nous verrons d’autres exemples en exercices pour te familiariser avec cette méthode, mais tu vois qu’elle est beaucoup moins pratique que l’utilisation de la formule d’Euler.
Les exercices sur ce chapitre sont accessible en cliquant sur ce lien !
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