Sommaire
Inégalité de Bernoulli
Avec la fonction ln
Avec la fonction sin
Soit n ≥ 2, et pour tout réel x supérieur ou égal à -1 : f(x) = (1 + x)n
1) Etudier la convexité de f
2) En déduire que pour tout x ≥ -1 : (1 + x)n ≥ 1 + nx
Montrer que pour tout réel x > 1, la fonction f(x) = ln(ln(x)) est concave.
En déduire que pour tout réel a et b appartenant à ]1 + ∞[ :
\(\displaystyle ln(\frac{a + b}{2}) \ge \sqrt{ln(a)ln(b)} \)
Montrer que pour tout réel x appartenant à [0 ; π/2] :
\(\displaystyle \frac{2}{\pi}x \le sin(x) \le x \)
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