Sommaire
Démonstration des formules
Théorème de Bézout
Simplification et calcul avec des congruences
Résolution d’équations avec les congruences
Principe de récurrence et congruence
Reste d’une division euclidienne suivant les valeurs de n
Somme de carrés divisibles par 7
Somme de cubes divisibles par 9
Congruences module 13
Nombre palindrome divisible par 11
Codage et décodage avec des congruences
Par l’absurde modulo 10
Le chiffre des unités
Calculs dans dans Z/nZ
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Soit 4 réels a, b, a’ et b’ et un entier naturel non nul n tels que :
\(\textstyle a \equiv b \, [n] \)
et
\(\textstyle a’ \equiv b’ \, [n] \)
Montrer que l’on a alors :
\(\textstyle a + a’ \equiv b + b’ \, [n] \)
\(\textstyle a – a’ \equiv b – b’ \, [n] \)
\(\textstyle a \times a’ \equiv b \times b’ \, [n] \)
\(\textstyle a^p \equiv b^p \, [n] \, \forall p \in \mathbb{N} \)
Il s’agit tout simplement des démonstrations des formules vues dans le cours.
Trouver deux entiers u et v tels que 5873 u + 51 v = 1
Trouver deux entiers u et v tels que 9397 u + 49 v = 1
Simplifier :
\(\textstyle x \equiv 32 \, [9] \)
Trouver la valeur la plus simple remplaçant le point d’interrogation :
\(\textstyle x \equiv 3 \, [7] \Rightarrow x^5 \equiv ? \, [7] \)
\(\textstyle x \equiv 4 \, [13] \Rightarrow x^5 \equiv ? \, [13] \)
\(\textstyle x \equiv 4 \, [17] \Rightarrow x^{21} \equiv ? \, [17] \)
Nous allons résoudre les équations suivantes (le but est de trouver tous les x vérifiant l’équation) :
\(\textstyle 3x \equiv 5 \, [4] \)
\(\textstyle x^2 – 2x + 16 \equiv 0 \, [5] \)
\(\textstyle 7x \equiv 8 \, [9] \)
Nous verrons deux méthodes différentes.
Montrer que pour tout entier naturel n, 32n + 1 + 24n + 2 est divisible par 7.
Quel est, suivant le valeur de n, le reste de la division euclidienne de 2n par 5 ?
Quel est le reste de la division euclidienne de 13572020 par 5 ?
Soit a et b deux entiers relatifs tels que :
\(\textstyle a^2 + b^2 \equiv 0 \, [7] \)
Montrer que a et b sont divisibles par 7.
Montrer que la somme de 3 cubes consécutifs est divisible par 9.
Montrer que 3126 + 5126 est divisible par 13
Montrer qu’un nombre palindrome est divisible par 11 si son nombre de chiffres est pair.
On rappelle qu’un palindrome est un mot qui se lit de la même manière de gauche à droite et de droite à gauche, comme « kayak » par exemple.
Exemples de nombres palindromes : 15351 – 7997 – 27488472 etc…
Cet exercice est extrait du bac S 2016.
Pour coder et décoder un nombre, on associe à chaque lettre de l’alphabet un chiffre de la manière suivante :
Pour coder une lettre, on lui associe son chiffre que l’on note x.
On transforme x en un autre chiffre codé y de la manière suivante :
y est le reste dans la division euclidienne de 7x + 5 par 26.
1) Coder la lettre L (qui correspond à 11)
2) Montrer que :
\(\textstyle 7x + 5 \equiv y \, [26] \Leftrightarrow x \equiv 15y + 3 \, [26] \)
3) Décoder la lettre F (correspondant à 5)
Montrer que pour tout entier naturel n ≥ 4, l’expression suivante n’est pas un entier naturel :
\(\displaystyle \sqrt{\sum_{k = 1}^n k!} \)
On pourra raisonner par l’absurde modulo 10.
Trouver le chiffre des unités de 390 + 490
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