Sommaire
Deux personnes nées le même jour
Loi de probabilité
Calcul d’espérance
La loi binômiale
La loi exponentielle
Construction d’arbres
Formule de l’espérance avec une somme
Inégalité de Bienaymé – Tchebychev
Exercice classique récapitulatif
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On considère un groupe de N personnes.
Quelle est la probabilité qu’au moins 2 personnes soient nées le même jour ?
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Nous allons calculer les lois de probabilité de 2 variables aléatoires :
Nous avons 10 boules vertes et 2 boules rouges dans une urne.
Si on tire tire une boule verte on perd 3 euros, si on tire une rouge, on gagne 7 euros.
On tire successivement et avec remise 2 boules de l’urne. Toutes les boules ont la meme probabilité d’être tirées.
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique à l’issue des 2 tirages.
Calcule la loi de probabilité de X.
2ème exercice :
Meme énoncé que précédemment mais on fait un tirage SANS remise (on ne remet pas la 1ère boule dans l’urne après l’avoir tirée).
Nous allons reprendre l’exemple de la partie « variables aléatoires et lois de probabilité ».
La question est simple : calcule l’espérance de la variable aléatoire^^
Nous rappelons évidemment les tableaux que l’on avait obtenu pour cette loi :
| xi | -6 | 4 | 14 |
| P(X = xi) | 25/36 | 5/18 | 1/36 |
De même, on suppose qu’on a calculé la loi de probabilité d’une autre variable aléatoire dont voici le tableau, le but étant de calculer son espérance :
| xi | -2 | 0 | 3 | 7 |
| P(X = xi) | 2/8 | 3/8 | 2/8 | 1/8 |
Nous allons reprendre les exemples de la partie « variables aléatoires et lois de probabilité ».
On rappelle que l’on a 10 boules vertes et 2 boules rouges.
Le joueur tire n fois successivement et avec remise une boule de l’urne. Les tirages sont indépendants.
Déterminer la valeur minimale de l’entier n afin que la probabilité d’obtenir au moins une boule rouge au cours de ces n tirages soit strictement supérieure à 0,999.
On aurait pu également imaginer une autre question (qui ne faisait pas partie de l’énoncé) :
calculer la probabilité d’obtenir exactement 3 boules rouges lors des 20 lancers.
Nous allons faire les exercices suivants sur la loi exponentielle.
le 1er est un ROC tiré du bac de France Métropolitaine 2008
La deuxième question est tirée du QCM de du bac du Liban de Juin 2009.
La dernière question est tirée du bac de Juin 2010 de France métropolitaine.
Roc de France Métropolitaine 2008
La durée de vie, exprimée en heures, d’un agenda électronique est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ est un réel strictement positif.
On rapelle que pour tout t ≥ 0 :
\(\textstyle P(X \leq t) = \int\limits_0^t \lambda e^{-\lambda x} dx \)
La fonction R définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par R(t) = P(X > t) est appelée fonction de fiabilité.
1) Démontrer que pour tout t ≥ 0, R(t) = e-λt
2) Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c’est-à-dire que pour tout s ≥ 0, la probabilité conditionnelle PX > t(X > t+s) ne dépend pas du nombre t≥ 0.
Liban de Juin 2009
X suit une loi de paramètre λ = 0,04. Calculer P(X > 5) à 10-2 près par excès.
France métropolitaine de Juin 2010
X suit une loi exponentielle de paramètre λ, calculer P(1 ≤ X ≤ 3).
Nous allons construire les arbres correspondant aux énoncés suivants :
Exercice 2 du bac de la Réunion 2010
On dispose d’un dé cubique A parfaitement équilibré possédant une face verte, deux faces noires et trois faces rouges.
Un jeu consiste à lancer deux fois de suite et de manière indépendante ce dé.
On note à chaque lancer la couleur de la face obtenue.
Exercice 3 du bac d’Asie 2010
Avant le début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L’événement : « le n-ième sondage est positif » est noté Vn, on note pn la probabilité de l’événement Vn.
L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prévoir que :
• si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0, 6 d’être aussi positif ;
• si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0, 9 d’être aussi négatif.
Il faut montre que pn+1 = 0,5 pn + 0,1
(on fera un arbre correspondant aux tirages n et n+1)
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans 
Montrer que :
\(\textstyle E(X) = \sum_{k = 1}^{+ \infty} P(X \ge k) \)
Soit N1, N2 …N10 des variables aléatoires correspondant à la note obtenue par 10 élèves à 1 examen, indépendantes et de même loi B(20 ; 0,615) (loi binomiale).
Posons :
\(\displaystyle M = \frac{N_1 + N_2 + … + N_{10}}{10} \)
1) Que matérialise M ?
2) Calculer E(M) et V(M).
3) Montrer que la probabilité que la moyenne soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d’au moins 80%.
On a 7 boules rouges et 5 boules vertes.
On tire successivement 3 boules sans remise.
1) Quelle est la probabilité d’avoir exactement 2 boules rouges ?
2) Même question si on tire les boules avec remise.
3) Même question si on tire les boules simultanément.
J’ai pas les mots , grâce à vous l’internet restera toujours positif.
Je vous encourage, merci