Sommaire
Exercice de base
Justification et calcul
Autre exercice de base
Sans borne infinie
Les intégrales de Bertrand
Fonction Gamma
Etudier la convergence des intégrales suivantes :
\(\displaystyle \int\limits_{0}^{1} ln(x) dx \)
\(\displaystyle \int\limits_{0}^{+ \infty} e^{-t^2} dt \)
\(\displaystyle \int\limits_{0}^{+ \infty} x sin(x) e^{-x} dx \)
\(\displaystyle \int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{ln(t)}{t^2 + 5}dt \)
\(\displaystyle \int\limits_{1}^{+ \infty} e^{-\sqrt{ln(t)}}dt \)
Justifier la convergence et calculer les deux intégrales suivantes avec a > 0 :
\(\displaystyle I = \int\limits_{0}^{+ \infty} sin(t) e^{-at }dt \)
\(\displaystyle J = \int\limits_{0}^{+ \infty} cos(t) e^{-at }dt \)
Justifier la convergence et calculer l’intégrale suivante :
\(\displaystyle I = \int\limits_{0}^{+ \infty} t e^{-\sqrt{t}}dt \)
Justifier la convergence et calculer l’intégrale suivante :
\(\displaystyle I = \int\limits_{0}^{1} \frac{ln(t)}{\sqrt{1-t}} dt \)
On considère l’intégrale de Bertrand suivante :
\(\displaystyle \int\limits_{e}^{+ \infty} \frac{1}{t^\alpha (ln(t))\beta}dt \)
Pour quelles valeurs de α et β l’intégrale converge ?
On définit la fonction gamma par :
\(\displaystyle \Gamma(x) = \int\limits_{0}^{+ \infty} t^{x – 1} \, e^{-t}dt \)
1) Monter que Γ est définie sur ]0 ; + ∞[
2) Monter que Γ est continue sur ]0 ; + ∞[
3) Monter que Γ est C∞ sur ]0 ; + ∞[ et que pour tout entier naturel non nul k :
\(\displaystyle \Gamma^{(k)}(x) = \int\limits_{0}^{+ \infty} (ln(t))^k \, t^{x – 1} \, e^{-t}dt \)
4) Montrer que pour tout x > 0 : Γ(x + 1) = x Γ(x) et calculer Γ(n + 1) pour tout entier naturel n.
5) Calculer Γ(1/2) puis Γ(n + 1/2)
6) Montrer que Γ est convexe et étudier ses variations.
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