Sommaire
Introduction
Principe général
Avec t = tan(x/2)
Exercices
Les règles de Bioche permettent de calculer des intégrales de fractions avec des sinus et des cosinus, en les transformant en intégrales de fractions rationnelles (donc avec des polynômes).
Ces règles permettent de trouver quel changement de variable appliquer à l’intégrale.
Il faudra que tu penses à appliquer ces règles si tu n’arrives pas à calculer autrement l’intégrale (avec des primitives composées comme u’/u par exemple).
Une fois le changement de variable effectué, calculer l’intégrale devient plus simple puisqu’il s’agira d’une fractions rationnelle. Comme on le verra dans les exemples, il fera assez souvent faire des décompositions en éléments simples ce pourquoi je t’invite à aller voir le cours sur les décompositions en éléments simples ainsi que les exercices sur la décomposition en éléments simples.
Commençons par le cas le plus simple.
Le principe est le suivant : on cherche à calculer :
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx \)
Remarque : les bornes a et b de l’intégrale n’ont pas d’importance.
On pose alors g(x) = f(x) dx
La règle est la suivante :
\(\displaystyle Si \, g(-x) = g(x) \)
\(\displaystyle on \, pose \, t = cos(x) \)
\(\displaystyle Si \, g(\pi – x) = -g(x) \)
\(\displaystyle on \, pose \, t = sin(x) \)
\(\displaystyle Si \, g(\pi + x) = g(x) \)
\(\displaystyle on \, pose \, t = tan(x) \)
Pour s’en souvenir c’est très simple, car le changement de variable suit la même formule quel e changement de variable.
En effet, si g(-x) = g(x) on pose t = cos(x), car cos(-x) = cos(x) : le changement de variable suit la même règle que g.
De même, si g(π – x) = g(x) on pose t = sin(x) car sin(π – x) = sin(x)
De même, si g(π + x) = g(x) on pose t = tan(x) car tan(π – x) = tan(x)
Comme tu le vois c’est très simple ! 
Tu auras remarqué que les bornes de l’intégrale n’entrent pas du tout en compte dans les règles de Bioche, ce pourquoi dans les exemples nous ne mettrons pas les bornes pour nous focaliser sur le changement de variable. Mais rassure toi dans les vidéos nous prendrons en compte les bornes pour que tu aies des exemples complets.
Voyons un exemple :
\(\displaystyle \int \frac{1}{sin(x)} dx \)
On pose donc
\(\displaystyle g(x) = \frac{1}{sin(x)} dx \)
On ne sait pas à l’avance si on doit calculer g(-x), g(π – x) ou g(π + x) donc on les calcule au fur et à mesure et on voit lequel donne g(x).
\(\displaystyle g(-x) = \frac{1}{sin(-x)} d(-x) \)
\(\displaystyle g(-x) = \frac{1}{-sin(x)} (-dx) \)
\(\displaystyle g(-x) = \frac{1}{sin(x)} dx \)
\(\displaystyle g(-x) = g(x) \)
Ici on a de la chance ça marche du premier coup !
On a donc g(-x) = g(x) donc on pose t = cos(x).
Donc dt = – sin(x) dx.
Petite astuce pour ce calcul : on va multiplier par sin(x) au numérateur et au dénominateur pour apparaître sin(x) dx :
\(\displaystyle \displaystyle \int \frac{1}{sin(x)} dx = \int \frac{1}{sin^2(x)} sin(x)dx \)
On va pouvoir remplacer le sin(x)dx par -dt, mais le dénominateur pose encore problème, donc on va le transformer :
\(\displaystyle \displaystyle \int \frac{1}{sin(x)} dx = \int \frac{1}{1 – cos^2(x)} sin(x)dx \)
Et comme t = cos(x), cos2(x) = t2 :
\(\displaystyle \displaystyle \int \frac{1}{sin(x)} dx = \int \frac{1}{1 – t^2} (-dt) \)
Comme promis, on a bien transformé notre intégrale en une intégrale de fraction rationnelle, qu’on pourra ici calculer en remplaçant 1 – t2 par (1 + t)(1 – t) par exemple puis en faisant une décomposition en éléments simples.
Autre exemple un peu plus compliqué :
\(\displaystyle I = \int \frac{5 + 3sin(x)}{4tan(x) + 5cos(x)} dx \)
On a évidemment
\(\displaystyle g(x) = \frac{5 + 3sin(x)}{4tan(x) + 5cos(x)} dx \)
Ici en calculant g(-x) on ne retombera pas sur g(x) car 5 + 3sin(x) deviendra 5 – 3sin(x), donc on ne retombera pas sur g(x).
Testons g(π – x) :
\(\displaystyle g(\pi – x) = \frac{5 + 3sin(\pi – x)}{4tan(\pi – x) + 5cos(\pi – x)} d(\pi – x) \)
\(\displaystyle g(\pi – x) = \frac{5 + 3sin(x)}{-4tan(x) – 5cos(x)} (-dx) \)
\(\displaystyle g(\pi – x) = \frac{5 + 3sin(x)}{4tan(x) + 5cos(x)} dx \)
\(\displaystyle g(\pi – x) = g(x) \)
Et là ça marche !
On pose donc t = sin(x)
Donc dt = cos(x) dx
Comme dans l’exemple précédent, on va multiplier par cos(x) pour faire apparaître le dt :
On obtient alors :
\(\displaystyle I = \int \frac{5 + 3sin(x)}{(4tan(x) + 5cos(x))cos(x)} cos(x) dx \)
\(\displaystyle I = \int \frac{5 + 3sin(x)}{4sin(x) + 5cos^2(x)} cos(x) dx \)
\(\displaystyle I = \int \frac{5 + 3sin(x)}{4sin(x) + 5(1 – sin^2(x))} cos(x) dx \)
\(\displaystyle I = \int \frac{5 + 3sin(x)}{4sin(x) + 5 – 5sin^2(x)} cos(x) dx \)
On va maintenant pouvoir remplacer tous les sin(x) par t et cos(x) dx par dt :
\(\displaystyle I = \int \frac{5 + 3t}{4t + 5 – 5t^2} dt \)
Comme prévu on retrouve une fraction rationnelle, et comme ici on a du second degré au dénominateur tu peux aller voir sur cette page comme calculer ce genre d’intégrales !
Il arrive cependant que les règles précédentes ne s’appliquent, c’est-à-dire g(-x) ≠ g(x), g(π – x) ≠ g(x) et g(π + x) ≠ g(x)
Il y a alors une autre possibilité que l’on va détailler.
L’autre changement de variable à effectuer si jamais les règles précédentes ne s’appliquent pas est le suivant :
\(\displaystyle t = tan(\frac{x}{2}) \)
Avec ce changement de variable, on a alors :
\(\displaystyle cos(x) = \frac{1 – t^2}{1 + t^2} \)
\(\displaystyle sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2} \)
\(\displaystyle tan(x) = \frac{2t}{1 – t^2} \)
Remarque : cette formule se retrouve facilement en faisant sin(x)/cos(x)
\(\displaystyle dx = \frac{2 dt}{1 + t^2} \)
La démonstration de ces formules a été faite dans cette vidéo.
Comme tu peux le voir, le cos(x), le sin(x), le tan(x) et même le dx se transforment en fraction rationnelle donc la fonction à intégrer sera une fraction rationnelle.
Voyons un petit exemple :
\(\displaystyle I = \int \frac{cos(x) + 3}{2sin(x) + 3cos(x)} dx \)
Tu pourras essayer d’appliquer les règles comme g(-x), g(π – x) et g(π + x), tu verras qu’ici ça ne marche pas !
Appliquons alors les formules que l’on vient de voir avec t = tan(x/2) :
\(\displaystyle I = \int \frac{\frac{1 – t^2}{1 + t^2} + 3}{2\frac{2t}{1 + t^2} + 3\frac{1 – t^2}{1 + t^2}} \frac{2 dt}{1 + t^2} \)
Après quelques simplifications, on obtient :
\(\displaystyle I = \int \frac{4t^2 + 8}{(-3t^2 + 4t + 3)(1 + t^2)} dt \)
Et pour calculer cette intégrale il faudra faire une décomposition en éléments simples évidemment 
Petite remarque importante avant de passer aux exercices :
Il est possible que l’intégrale que tu aies à calculer ne soit pas en dx mais en dt.
Exemple :
\(\displaystyle I = \int \frac{1}{cos(t) + sin(t)} dt \)
Il ne faudra pas alors poser t = tan(x/2) mais plutôt :
\(\displaystyle x = tan(\frac{t}{2}) \)
Il faudra alors inverser tous les x et les t dans les formules précédentes.
Avec ce changement de variable, on aura alors :
\(\displaystyle cos(t) = \frac{1 – x^2}{1 + x^2} \)
\(\displaystyle sin(t) = \frac{2x}{1 + x^2} \)
\(\displaystyle tan(t) = \frac{2x}{1 – x^2} \)
\(\displaystyle dt = \frac{2 dx}{1 + x^2} \)
Nous allons calculer les intégrales suivantes en utilisant les règles de Bioche :
\(\displaystyle I = \int\limits_{0}^{\pi /2} sin^8 (x) cos^3 (x) dx \)
\(\displaystyle I = \int\limits_{\pi /4}^{\pi /2} \frac{1}{sin(x)} dx \)
Même énoncé mais avec l’intégrale suivante :
\(\displaystyle I = \int\limits_{0}^{\pi /2} \frac{1}{2 + sin(x) + cos(x)} dx \)
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