Sommaire
Les bases des suites
Représentation graphique
Construction graphique
Les suites de base
Suite ni arithmétique ni géométrique
Monotonie
Suite majorée, minorée, bornée
Les limites
Propriété importante sur les limites
Théorème sur les limites
Théorème des gendarmes
Suites adjacentes
Principe de récurrence
Méthodes de calcul pour l’hérédité
Annales de bac – exercices
Intérêt des suites
Nous allons voir ici quelque chose que tu as normalement déjà vu en 1ère, les suites, mais bien sûr il y aura des choses nouvelles. Nous allons donc commencer par des rappels de 1ère. Ce chapitre est important parce qu’on le retrouve dans d’autres chapitres, notamment les intégrales.
Déjà une suite, qu’est-ce-que c’est ? C’est un peu comme une fonction mais qui ne serait définie que pour les entiers, c’est-à-dire qu’il n’y aurait que f(0), f(1), f(2), f(3)… Sauf qu’on écrit u0, u1, u2, u3…
Par exemple un = 8n + 4
donc u0 = 8 x 0 + 4 = 4
u1 = 8 x 1 + 4 = 12 …
Ensuite il faut savoir qu’il y a 2 façons de décrire une suite :
– La formule explicite : on a un en fonction de n, comme un = 8n + 4
Si je te demande de calculer u200, tu remplaces n par 200 :
u200 = 8 x 200 + 4 = 1604, pas de problème !
– La formule récurrente : là on a un+1 en fonction de un, comme un+1 = 3un + 2.
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Attention ! Pour calculer u22, tu remplaces n par 21, puisque c’est n+1 qui doit valoir 22…
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Pour calculer u22, tu remplaces donc n par 21 : u22 = u21+1 = 3 x u21 + 2 (puisque un+1 = 3un + 2)
Mais il faut donc calculer u21 ! Mais pour calculer u21 il faut u20, et pour calculer u20… Tu as compris que ce n’est pas pratique pour calculer un terme éloigné de u0 comme u35 par exemple, par contre on s’en servira tout à l’heure 
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ATTENTION ! Parfois les suites ne commencent pas à 0 ! Dans l’énoncé, il peut être marqué :
Pour tout n ≥ 2, on définit un par patiti patata… A ce moment-là u0 et u1 n’existent pas, et tu dois alors commencer à u2.
Il est possible de commencer à 1, 2, 3, 4…
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Attention aussi que le n est TOUJOURS positif !!! Tu ne verras jamais u -1 ou u– 4 par exemple, ça n’existe pas !
On utilisera le fait que n est positif plus tard.
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Dernière remarque : il ne faut pas confondre un et (un) (avec et sans parenthèse).
Dans les calculs tu mets un sans parenthèse car il s’agit d’un terme de la suite, par exemple un = 4
Par contre dans les phrases tu mets (un) avec parenthèses car il s’agit de la suite (un) en entier, par exemple (un) est croissante, (un) est minorée, (un) est convergente etc…
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Dans un plan, on représente la suite par des points, puisque la suite n’est définie que pour 0, 1, 2, 3… contrairement à une fonction.
Pour les suites récurrentes (un+1 en fonction de un), il est possible de construire graphiquement la suite ! Cela est souvent demandé. Profites-en ce sont des points gagnés très facilement, il n’y a quasiment rien à savoir !
Le principe est très simple, on va prendre un petit exemple :
un+1=√(un)+6, et u0=4.
On trace alors f(x) = √(x)+6 (généralement on te donne la fonction déjà tracée). Il te suffit de tracer la droite d’équation y = x (qui est la diagonale). Puis tu places le u0 : jusque-là, rien de compliqué 
Ensuite comme c’est un peu plus compliqué (enfin un tout petit peu^^), on a préféré te faire une belle animation en vidéo pour que tu comprennes mieux 
Tu dois savoir qu’il y a 2 types de suites que l’on utilise souvent : les suites géométriques et les suites arithmétiques. Un petit tableau récapitulatif ne fera pas de mal
| Formule | Suites arithmétiques | Suites géométriques |
|---|---|---|
| Explicite | un = u0 + nr | un = u0 x qn |
| Récurrente | un+1 = un + r | un+1 = un x q |
| Somme | \( \frac{(1er \, terme + dernier \, terme) (nbre \, de \, termes)}{2} \) | \( 1er \, terme \frac{1 – q^{nbr \, de \, termes}}{1 -q} \) |
| Formule | Suites arithmétiques | Suites géométriques |
|---|---|---|
| Explicite | un = u0 + nr | un = u0 x qn |
| Récurrente | un+1 = un + r | un+1 = un x q |
| Somme |  |
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(la somme sera expliqué un peu plus loin^^)
—
ATTENTION ! Les formules des suites explicites ne sont valables que si les suites commencent à n = 0.
Si une suite commence à p, les formules sont alors :
\(\textstyle u_n = u_p + (n-p)r \)
\(\textstyle u_n = u_p \times q^{n-p} \)
—
Par exemple : (un) est une suite arithmétique de 1er terme u2 = 5, et de raison r = – 7. Alors :
\(\textstyle u_n = u_2 + (n-2)r \)
\(\textstyle u_n = 5 -7(n-2) \)
\(\textstyle u_n = 5 -7n + 14 \)
\(\textstyle u_n = -7n + 19 \)
Mais ce genre de situation se retrouve rarement dans les exercices, et les suites commencent souvent à n = 0.
Si les formules explicites et récurentes ne devraient pas poser problème, la dernière ligne demande peut-être quelques explications… mais un petit exemple ce sera mieux
Prenons un = 6 – 5n, pour n ≥ 0.
On voit clairement que un est une suite arithmétique de raison -5 et de premier terme 6.
On cherche alors à calculer :
\(\textstyle \sum\limits_{k=0}^{n} u_k \)
Autrement dit on cherche à calculer la somme des 1ers termes jusqu’à n : on applique donc la formule de la 3ème ligne du tableau
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ATTENTION !! Si la somme va de 0 à n, il y a n + 1 termes !!!! Et non pas n termes.
Par exemple, de 0 à 4, il y a 0, 1, 2, 3, 4, ce qui fait 5 termes !!
Par contre si la somme va de 1 à n, là oui il y a n termes.
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La formule nous donne :
\(\textstyle \sum\limits_{k=0}^{n} u_k = (n + 1) \times\frac{u_o + u_n}{2} \)
\(\textstyle \sum\limits_{k=0}^{n} u_k = (n + 1) \times\frac{6 + 6 – 5n}{2} \)
\(\textstyle \sum\limits_{k=0}^{n} u_k = (n + 1) \times\frac{12 – 5n}{2} \)
Ici comme un est une suite arithmétique on applique la formule pour les suites arithmétiques, mais bien sûr si elle était géométrique on aurait appliquer l’autre formule.
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ATTENTION ! Beaucoup de personnes pensent que la formule pour une suite géométrique est :
\(\textstyle \frac{1 – q^n}{1 -q} \)
Mais cela n’est valable que s’il y a n termes et que le 1er terme vaut 1 !!
Au numérateur, c’est bien q puissance « nombre de termes ».
Et il ne faut pas oublier le 1er terme avant la fraction, il ne faut donc pas aller trop vite^^
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Par ailleurs, pour montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique, c’est facile :
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Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on calcule un+1 – un et on doit trouver une constante.
Pour montrer qu’une suite est géométrique, on calcule un+1 et on doit trouver une constante fois un
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En Terminale, surtout au bac, on utilise très souvent cette méthode pour montrer qu’une suite est géométrique.
Dans ces annales de bac sur les suites , tu as pas mal d’exemples d’application de cette méthode.
En Terminale on se sert surtout des formules pour la somme et des propriétés des suites arithmétiques et géométriques, mais ce n’est pas bien méchant^^
Avec ces exercices sur les suites arithmétiques et ces exercices sur le suites géométriques, tu verras comment appliquer certaines formules vues plus haut.
On vient de voir comment montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique.
En revanche, pour montrer qu’une suite N’EST PAS arithmétique ou géométrique, la méthode est très différente : il faut prendre un contre-exemple.
En effet, si on montre que la formule ne marche pas pour les premiers termes, elle ne pourra pas être vraie pour tout entier n (elle le sera peut-être pour certains mais pas pour tous).
La méthode est la suivante :
Pour montrer qu’une suite N’EST PAS arithmétique, on calcule u1 – u0 et u2 – u1.
Le résultat ne sera pas le même, donc la suite n’est pas arithmétique.
Si jamais le résultat est le même (cela peut parfois arriver), on fait la même chose avec les termes d’après : on calcule u2 – u1 et u3 – u2 et on trouvera un résultat différent.
Si jamais la suite commence à u1 on calcule évidemment u2 – u1 et u3 – u2, il faut s’adapter à l’énoncé !
Attention, si jamais tu calcules u1 – u0, u2 – u1, u3 – u2 etc… et que tu trouves le même résultat, c’est sûrement parce que la suite est arithmétique, il ne faut pas alors faire ce raisonnement mais l’autre, c’est-à-dire calculer un+1 – un et trouver une constante.
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ATTENTION !! Ce n’est pas parce que u1 – u0 et u2 – u1 sont égaux que la suite est arithmétique !! Cela sert uniquement si on trouve des résultats différents, et on dit alors que la suite n’est pas arithmétique.
Si on trouve le même résultat, on ne peut rien dire, donc on ne l’écrit même pas sur la copie !
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Pour montrer qu’une suite N’EST PAS géométrique, c’est le même principe mais on calcule u1/u0 et u2/u1 : il faut trouver des résultats différents, et alors on peut dire que la suite n’est pas géométrique.
Les autres remarques faites juste au dessus pour les suites non arithmétiques sont aussi valables pour les suites non géométriques.
Voyons tout de suite un exemple.
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = 3n2 + 2.
Montrons que cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique.
Pour cela, commençons par calculer les premiers termes :
u0 = 3× 02 + 2 = 2
u1 = 3× 12 + 2 = 5
u2 = 3× 22 + 2 = 14
Montrons d’abord qu’elle n’est pas arithmétique :
u1 – u0 = 5 – 2 = 3
et u2 – u1 = 14 – 5 = 9
3 ≠ 9 donc u1 – u0 ≠ u2 – u1
Donc la suite (un) n’est pas arithmétique.
Montrons que la suite n’est pas géométrique :
u1/u0 = 5/2 = 2,5
et u2/u1 = 14/5 = 2,8
2,5 ≠ 2,8 donc u1/u0 ≠ u2/u1
Donc la suite (un) n’est pas géométrique.
Ainsi (un) n’est ni arithmétique ni géométrique.
Comme tu le vois c’est très simple ! 
Deux vidéos d’exercices sont disponibles sur ce que l’on vient de voir en cliquant ici !
Quand dans un énoncé on te demande « étudier la monotonie de la suite », il faut chercher si la suite est croissante ou décroissante, tout simplement !
Tu dois alors savoir que :
\(\displaystyle Si\,u_{n+ 1}\, -\, u_n\, \ge \, 0 \)
\(\displaystyle la\, suite\, (u_n)\, est\, croissante \)
\(\displaystyle Si\,u_{n+ 1}\, -\, u_n\, \le \, 0 \)
\(\displaystyle la\, suite\, (u_n)\, est\, decroissante \)
Du coup, pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on fait quoi ??
Et bien on calcule un+1 – un et on regarde le signe : si c’est positif, la suite est croissante, si c’est négatif, la suite est décroissante
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Petite subtilité : si tu veux montrer que la suite est STRICTEMENT croissante, il faut montrer que un+1 – un est STRICTEMENT positif.
Et si tu veux montrer que la suite est STRICTEMENT décroissante, il faut montrer que un+1 – un est STRICTEMENT négatif.
Il faut donc bien lire la question.
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Quelques petits exemples en vidéo devraient t’aider pour t’entraîner
Une suite majorée c’est quoi ?
C’est tout simplement une suite qui est inférieure à un nombre : pour tout n,
un ≤ M, où M est un réel.
Une suite minorée c’est l’inverse, elle est plus grande qu’un certain nombre : pour tout n, un ≥ m, où m est un réel.
Et une suite bornée ? Tout bêtement, c’est une suite à la fois minorée et majorée : m ≤ un ≤ M
On verra des exemples plus loin car ils font souvent intervenir le principe de récurrence que l’on verra tout à l’heure
Tout comme les fonctions, les suites ont des limites ! Et là c’est assez simple, puisque les règles sont les mêmes
Par exemple, +∞ × +∞ = +∞
+∞ × 0 = forme indéterminée, etc… Nous t’invitions à revoir le cours sur les limites
Une remarque importante cependant pour les suites : LA LIMITE D’UNE SUITE SE FAIT TOUJOURS EN +∞ !!!!!
C’est-à-dire quand n tend vers +∞.
Donc n’écris JAMAIS
\(\displaystyle \lim_{n \to 4} u_n \, ou \, \lim_{n \to – \infty} u_n \)
c’est une erreur monumentale !!
Surtout qu’on a dit avant que n était toujours positif, donc ce serait bizarre qu’il tende vers –∞…
Du coup quand on te dit de calculer la limite de un, c’est sous-entendu quand n tend vers +∞ :
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n \)
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ATTENTION cette limite n’existe pas toujours : si la suite a une limite, on dit qu’elle est CONVERGENTE.
Si une suite n’a pas de limite (en +∞ bien sûr), on dit qu’elle est DIVERGENTE.
un = cos(n) par exemple n’a pas de limite, donc cette suite diverge.
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ATTENTION aussi (décidemment y’a plein de attention dans ce chapitre 
) : pour être convergente, il faut que la limite soit un nombre, comme 5, 12, √8, π/2… mais pas ±∞ !!
Si la limite est +∞ ou -∞, la suite est divergente.
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Attention enfin à ne pas confondre : quand on dit qu’une suite est divergente, elle ne tend pas forcément vers l’infini !
Quand elle diverge, ça veut dire qu’elle n’a pas de limite ou qu’elle tend vers ±∞.
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Une petite propriété à connaître car on l’utilise souvent : les limites des suites géométriques :
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty}q^n \)
La règle est simple :
\(\displaystyle Si\,-1\,<\,q\,<1, \)
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty}q^n = 0 \)
\(\displaystyle Si\,1\,<\,q\,\ \)
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty}q^n = +\infty \)
\(\displaystyle Si\,q\,\leq\,-1\, \)
\(\displaystyle il\,n’y\,a\,pas\,de\,limite \)
Et si q = 1, qn = 1, donc la limite vaut 1 mais ce n’est pas très intéressant…
C’est le prermier cas, c’est-à-dire si -1 < q < 1, qu’il faut absolument retenir car c’est le plus fréquent, et celui dont tu auras le plus besoin.
Pour s’en rappeler c’est très simple :
Si -1 < q < 1 par exemple ½, et bien quand on multiplier ½, on divise par 2. Donc si on prend un gâteau et qu’on n’arrête pas de le diviser par 2, les parts seront minuscules à la fin, donc la limite est 0.
Si q > 1, par exemple 2, on multiplie par 2 à chaque fois, donc forcément ça va tendre vers +∞.
Si q ≤ -1, et bien c’est alternativement + et -, par exemple :
si q = -2, (-2)3 = -8 et (-2)4 = 16, (-2)5 = -32, etc… on a donc une suite qui augmente en changeant de signe, donc il n’y a pas de limite.
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ATTENTION A TOUJOURS BIEN JUSTIFIER CELA !!
Par exemple, si tu dois calculer
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty}\left(\frac{5}{8}\right)^n \)
Il faut bien dire : comme -1 < 5/8 < 1
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty}\left(\frac{5}{8}\right)^n = 0 \)
Si tu ne justifies pas tu n’auras pas les points !! En plus tu auras souvent ce genre de limites à calculer, donc prends bien l’habitude de toujours justifier.
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Fais attention aussi à bien mettre STRICTEMENT compris entre -1 et 1, si tu mets inférieur ou égal et supérieur ou égal c’est tout faux !!
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Il y a deux théorèmes très importants à retenir sur les limites car on les utilise souvent :
\(\displaystyle Si\, une\, suite\, est\, croissante\, et\, majoree, \)
\(\displaystyle alors\, elle\, est\, convergente \)
\(\displaystyle Si\, une\, suite\, est\, decroissante\, et\, minoree, \)
\(\displaystyle alors\, elle\, est\, convergente \)
Pour ne pas confondre les 2, utilise la logique ! Si elle est croissante (en gros « elle monte ») il faut qu’elle ne dépasse pas un certain niveau pour être convergente, donc majorée, le fait qu’elle soit minorée n’apporte rien. C’est bien sûr le contraire si elle est décroissante.
Souvent les énoncés sont rédigés de la sorte :
a) Etudier la monotonie de la suite
b) Montrer que la suite est majorée (ou minorée ça dépend)
c) Montrer que (un) est convergente, ou Conclure sur la convergence de la suite
Là ils t’aident beaucoup avec le numéro des questions
En effet, dans le a) tu montres que la suite est croissante ou décroissante, dans le b) tu montres qu’elle est minorée ou majorée, et en c) tu conclus avec la propriété!
Rédige bien pour montrer que tu utilises la propriété, dis par exemple :
On a vu que (un) est croissante et majorée. Or on sait qu’une suite croissante et majorée est convergente, donc (un) est convergente. Et voilà, tout bête
—
ATTENTION ! Ce n’est pas parce qu’une suite est majorée ou minorée par 2 qu’elle tend vers 2 !!!
Elle peut très bien être minorée par -5 par exemple et tendre vers 0.
Si on prend un = 1/n, on a bien un ≥ -5 puisque un est positif, et ce n’est pas pour ça que (un) tend vers -5 !
Au contraire puisque (un) tend vers 0…
—
Le théorème des gendarmes (qu’on appelle aussi théorème d’encadrement, c’est le même) est très simple :
\(\displaystyle Si\, v_n \le u_n \le w_n \)
\(\displaystyle et \lim_{n \to + \infty}v_n = \lim_{n \to + \infty}w_n = L \)
\(\displaystyle alors \lim_{n \to + \infty}u_n = L \)
Cela semble assez logique : un est compris entre wn et vn qui tendent vers L, donc un tend forcément vers L aussi…
Souvent tu auras à démontrer que un ≤ wn, et tu sauras que wn tend vers 0. Il faudra trouver le vn inférieur à un pour appliquer la propriété. Mais le plus simple est de dire que un… est supérieur à 0 ! Puisque 0 tend vers 0… Cela est souvent assez simple.
Par exemple tu as un = 1/(n+2). Un exemple un peu bête puisqu’on voit directement que ça tend vers 0 mais c’est pour montrer le principe
On peut montrer facilement que un < 1/n, et on sait que 1/n tend vers 0 en +∞
Il suffit de montrer que un est positif… ce qui n’est pas compliqué, puisque n est positif, donc n+2 aussi, donc 1/(n+2) aussi
Du coup 0 ≤ un ≤ 1/n et 1/n tend vers 0, donc d’après le théorème des gendarmes, un tend vers 0 ! Trop facile
Le théorème des gendarmes est bien sûr également valable pour les fonctions, pas seulement les suites^^
Entraîne-toi avec ces exemples sur le théorème des gendarmes.
Des suites adjacentes, qu’est-ce-que c’est ? Déjà ce sont forcément 2 suites (par exemple un et vn), on dit toujours « ces 2 suites sont adjacentes », donc écrire « la suite un est adjacente » ça ne veut rien dire… Bon ensuite il faut savoir les propriétés que doivent vérifier les suites pour être adjacentes, c’est tout simple, il faut que :
(un) soit croissante
(vn) soit décroissante
vn-un tend vers 0 :
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty}v_n – u_n = 0 \)
Et voilà, c’est tout ! Bien sûr on peut dire que c’est (vn) qui est croissante et (un) décroissante ça revient au même, du moment que l’une est croissante et l’autre décroissante.
Il y a alors quelques propriétés intéressantes, surtout celle-là :
(un) et (vn) sont convergentes et convergent vers la même limite !! :
\(\displaystyle \lim_{n \to + \infty}v_n = \lim_{n \to + \infty}u_n = L \)
De plus, un ≤ L ≤ vn
Graphiquement, ça donne cela :
On voit que (un) est croissante et tend vers L, tandis que (vn) est décroissante et tend vers L.
On trouve peu souvent les suites adjacentes dans les exercices, par contre on trouve très souvent le principe de récurrence !
Une des choses les plus importantes à savoir faire avec les suites, c’est la récurrence. Ce type de raisonnement se retrouve très fréquemment dans les énoncés.
Une récurrence se fait en 2 étapes : l’initialisation, et l’hérédité. Nous allons faire l’analogie avec une échelle : l’initialisation, c’est montrer que tu es capable de monter sur le premier barreau. L’hérédité, c’est montrer que si tu es sur un barreau, tu es capable de monter sur le suivant. Le principe te dit alors que tu es capable de monter toute l’échelle. Logique quoi
Le but d’une récurrence est de montrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tout n. Nous allons voir un petit exemple, tu comprendras mieux
Soit P(n) : « pour tout x positif, (1+x)n ≥ 1 + nx », pour tout n ≥ 1
Ici n commence à 1, l’initialisation consiste alors à montrer que la proposition est vraie pour n = 1, c’est-à-dire que P(1) est vraie. C’est généralement l’étape la plus facile
Il y a cependant un principe fondamental à retenir : P(n) est souvent une égalité ou inégalité. Pour l’initialisation, il faut calculer SEPAREMMENT les deux membres, puis montrer que l’égalité ou l’inégalité est bien vérifiée.
Ici, on calcule donc (1+x)1 et SEPAREMMENT on calculer 1 + 1 × x (on remplace n par 1)
(1+x)1 = 1 + x et 1 + 1 × x = 1 + x, donc (1+x)1 = 1 + 1 × x.
Les 2 expressions sont égales (donc on peut dire que l’une est supérieure ou égal à l’autre).
On a donc bien (1+x)1 ≥ 1 + 1 × x, donc P(1) est vraie !
Et voilà, l’initialisation est terminée, il ne reste plus qu’à passer à l’hérédité.
Cette étape est un peu plus délicate, car les raisonnement sont différents. Nous te présenterons différentes manières dans la partie juste en-dessous. Le principe est cependant toujours le même : il faut supposer que P(n) est vraie, et montrer alors que P(n+1) est vraie.
Ici on va donc supposer que (1+x)n ≥ 1 + nx, et il faut montrer
(1+x)n+1 ≥ 1 + (n+1)x, c’est-à-dire la même propriété mais avec n+1 à la place de n.
Pour ce cas-là, nous allons partir de ce qu’on suppose, donc (1+x)n ≥ 1 + nx
\(\displaystyle (1 + x)^n \ge 1 + nx \)
on multiplie par (1+x) pour avoir (1+x)n+1
\(\displaystyle (1 + x)^n \times (1 + x) \ge (1 + nx) \times (1 + x) \)
(on ne change pas le sens de l’inégalité car 1+x > 0)
\(\displaystyle (1 + x)^{n + 1} \ge 1 + x + nx + nx^2 \)
\(\displaystyle or \, 1 + x(n + 1) + nx^2 \ge 1 + x(n + 1) \)
\(\displaystyle donc \, (1 + x)^{n + 1} \ge 1 + x(n + 1) \)
Donc P(n+1) est vraie : P(n) est donc héréditaire !
Et ben voilà, on est arrivé à ce qu’on voulait Ici c’était assez simple, il suffisait de multiplier puis de développer, mais parfois c’est bien plus dur. Seul l’entraînement t’aidera à trouver rapidement et facilement comment faire pour montrer l’hérédité.
Il y a cependant un principe que tu ne dois jamais oublier : quand tu fais l’hérédité, il faut OBLIGATOIREMENT que tu utilises P(n) : il faut qu’à un moment ou à un autre tu dises « d’après P(n) », sinon il y a un problème dans ton raisonnement. Cela peut se faire au début comme dans l’exemple ou bien au milieu ou à la fin de la démonstration.
Au niveau de la rédaction il faut également faire attention. Au début, tu dis :
soit P(n) : « … »
Ensuite, pour l’initialisation, si n commence à 1 par exemple, tu dis : pour n=1, … et là tu fais ton calcul. A la fin du calcul, tu conclus : donc P(1) est vraie (si ça commence à 3 tu dis bien sûr « donc P(3) est vraie )
—
C’est là qu’il faut faire attention pour l’hérédité, beaucoup disent « Supposons P(n) vraie pour tout n ». Si tu dis ça il n’y a plus rien à montrer !!
Il faut plutôt dire : « soit n appartenant à N, supposons P(n), et montrons P(n+1) ».
Tu fais alors ton calcul comme au-dessus, et à la fin tu dis : donc P(n+1) est vraie.
(n appartenant à N si n ≥ 0 mais si n ≥ 1, tu diras N*, etc…)
—
Et enfin la conclusion : on sait donc que P(n) est héréditaire et que P(1) est vraie, donc d’après le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n.
Avant quelques exercices en vidéo, nous allons voir quelques méthodes de calcul pour l’hérédité.
Nous allons voir ici trois grandes méthodes de calcul pour l’hérédité, il y en a d’autres bien sûr mais celles-ci sont fréquemment utilisées.
1ère méthode : on part de P(n)
On va reprendre l’exemple ci-dessus mais avec « a » à la place de x, c’est pareil
Pour tout a réel positif, et n ≥ 1, soit P(n) : « (1+a)n ≥ 1 + na »
Initialisation : pour n = 1 on a vu que ça marche, pas de souci.
Maintenant l’hérédité : soit n appartenant à N*, supposons P(n).
(N* car n ≥ 1)
Et là, ON VA PARTIR DE P(n) PUIS CONSTRUIRE P(n+1) :
\(\displaystyle (1+a)^n \ge 1 + na \)
\(\displaystyle d’apres \, P(n) \)
Maintenant il faut CONTRUIRE P(n+1), c’est-à-dire que l’on veut n+1 à la place de n.
Il est alors fortement conseillé d’écrire P(n+1) pour savoir à quoi on veut arriver à la fin :
on veut montrer P(n+1) : « (1+a)n+1 ≥ 1 + (n+1)a » (on a remplacé n par n+1)
2 solutions : multiplier par 1+a pour avoir (1+a)n+1 à gauche, ou ajouter a pour avoir 1 + (n+1)a à droite.
La première solution est ici à privilégier, la deuxième ne permettant pas de faire grand chose par la suite…
Il faut alors bien justifier que comme a ≥ 0, 1+a ≥ 0, donc on ne change pas le sens de l’inégalité !!!
\(\displaystyle (1+a)^n \times (1+a) \ge (1 + na) \times (1+a) \)
\(\displaystyle (1+a)^{n+ 1} \ge 1 + a + na + na^2 \)
et biens sûr il faut se débrouiller pour qu’à droite on retrouve 1 + (n+1)a, puisque c’est ce qu’il faut avoir !
\(\displaystyle (1+a)^{n+ 1} \ge 1 + a(n + 1) + na^2 \)
On remarque qu’il y a le na2 en trop, mais ce n’est pas grave, car na2 est positif, et on peut donc dire que :
\(\displaystyle 1 + a(n + 1) + na^2 \ge 1 + a(n + 1) \)
Et on reprend alors notre équation du dessus, qui nous donne :
\(\displaystyle (1+a)^{n+ 1} \ge 1 + a(n + 1) \)
Et là, Ô miracle !! On retrouve P(n+1) !!
En conclusion : souvent pour des INEGALITES, il faut partir de P(n) et construire P(n+1) en faisant des opérations sur l’inégalité (addition, multiplication…). Ecris P(n+1) au brouillon pour savoir ce que tu dois démontrer, ça t’aidera grandement
2ème méthode : on part d’une partie de P(n+1)
Nous allons prendre l’exemple suivant :
\(\displaystyle \left\{ \begin{array} u_0 = 1\\u_{n + 1}=\frac{1}{2}u_n + 1 \end{array} \right. \)
Et il faut montrer que pour tout n ≥ 0
\(\displaystyle P(n)\, : \, u_n = \frac{-1}{2^n} + 2 \)
Pour l’initialisation c’est facile, pour n = 0 :
\(\displaystyle \frac{-1}{2^0} + 2 = -1 + 2 = 1 \)
\(\displaystyle or \, u_0 = 1 \)
\(\displaystyle donc\, on\, a\, bien\, u_0 = \frac{-1}{2^0} + 2 \)
Donc P(0) est vraie.
Soit n appartenant à N, supposons P(n).
Il faut montrer
\(\displaystyle P(n+ 1)\, :\, u_{n+ 1} = \frac{-1}{2^{n+ 1}} + 2 \)
On ne va pas partir de P(n) comme tout à l’heure. Ici, on va partir d’une partie de ce qu’on veut montrer : on va partir du membre de gauche (un+1) pour arriver au membre de droite, on commence donc par exprimer un+1 :
\(\displaystyle u_{n+ 1} = \frac{1}{2}u_n + 1 \)
\(\displaystyle d’apres\,\, l’enonce \)
Et c’est maintenant que l’on utilise P(n) en remplaçant un
\(\displaystyle u_{n+ 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{-1}{2^n} + 2\right) + 1 \)
\(\displaystyle d’apres\,\, P(n) \)
Il ne faut pas oublier de dire « D’APRES P(n) » !!!!!
On calcule alors pour retrouver ce que l’on veut :
\(\displaystyle u_{n+ 1} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{-1}{2^n}\right) + \frac{1}{2} \times 2+ 1 \)
\(\displaystyle u_{n+ 1} = \left(\frac{-1}{2^{n + 1}}\right) + 1 + 1 \)
\(\displaystyle u_{n+ 1} = \frac{-1}{2^{n + 1}} + 2 \)
Et voilà, on a P(n+1) !! 
La différence avec l’exemple précédent, c’est qu’on n’a pas utilisé P(n) dès le début du calcul. Au contraire, on est parti d’une partie de P(n+1), à savoir un+1, et on a utilisé P(n) APRES dans le calcul pour retrouver ce que l’on veut.
Cette technique est principalement utilisée quand on a des égalités mais cela marche aussi parfois avec des inégalités.
3ème méthode : quand on a des sommes
Cette méthode s’applique quand on a des sommes dans P(n). Par exemple, si on a pour n ≥ 1:
\(\displaystyle P(n) \, : \, \sum\limits_{k=1}^n k =\frac{n(n + 1)}{2} \)
Initialisation : pour n = 1 :
\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^1 k =1 \)
et
\(\displaystyle \frac{1(1 + 1)}{2} = 1 \)
donc
\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^1 k =\frac{1(1 + 1)}{2} \)
donc P(1) est vraie.
Hérédité : soit n appartenant à N, supposons P(n).
On veut montrer :
\(\displaystyle P(n+ 1) \, : \, \sum\limits_{k=1}^{n+ 1} k =\frac{(n+ 1)(n+ 1 + 1)}{2} = \frac{(n+ 1)(n+ 2)}{2} \)
Ici on va partir, un peu comme l’exemple d’avant, d’une partie de P(n+1), à savoir la somme de 1 à n+1.
L’astuce c’est qu’il faut enlever le terme « n+1 » de la somme pour retrouver la somme de 1 à n :
\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n+ 1} k =\left(\sum\limits_{k=1}^n k\right) + (n+1) \)
et là on remplace la somme de 1 à n en utilisant P(n) :
d’après P(n) :
\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} k =\frac{n(n+ 1)}{2} \)
\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n+ 1} k = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)+ (n+1) \)
\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n+ 1} k = \frac{n(n + 1)}{2}+ \frac{2(n+1)}{2} \)
\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n+ 1} k = \frac{n(n + 1) + 2(n+1)}{2} \)
\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n+ 1} k = \frac{(n + 1)\times (n+2)}{2} \)
Et voilà ! On a retrouvé notre P(n+1)
Ici c’est qu’il retenir c’est ça :
\(\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n+ 1} u_k = \sum\limits_{k=1}^{n} u_k + u_{n+ 1} \)
Il faut couper la somme en 2 pour pouvoir retrouver P(n) et l’appliquer.
Evidemment, pour choisir la bonne méthode, il faut BEAUCOUP d’entraînement ! Ces exercices sur la récurrence te permettront d’appliquer les différentes méthodes, et bien sûr d’en découvrir d’autres
Pour que tu sois encore plus à l’aide avec les suites, il est fortement recommandé que tu t’entraînes à faire ces annales de bac en vidéo !
L’idéal étant que tu cherches toi-même la solution avant de regarder la correction
Il y a également une page d’exercices sur les suites pour t’entraîner !
Le principal intérêt des suites, c’est de modéliser des phénomènes qui ont lieu à intervalles réguliers, puisque le n est un entier.
On peut citer par exemple tout ce qui est lié à la banque, avec les taux d’intérêts et les annuités entre autres. Les suites sont donc très utilisées dans la finance.
Les suites permettent également de trouver la valeur approchée de certains nombres comme π, voire des fonctions.
C’est ainsi que l’on retrouve les suites dans la méthode d’Euler en physique, que l’on voit en terminale S, qui sert à approcher une fonction de manière très précise.
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Bonjour, sur ce paragraphe:
« Par exemple : un est une suite arithmétique de 1er terme u2 = 5, et de raison r = 7. Alors : ……. »
la reponse est -7n+19 alors qu’elle devrait etre 7n-9 non?
Je me trompe ou la réponse est erronée,?
Merci bien,
Cordialement.
Oui mais dans mon exemple la raison est -7 et non 7, ce qui change tout !
Dans votre exemple, il est bien marqué que r=7, donc c’est à corriger !
Oui, erreur corrigée !
Bonjour lorsque vous écrivez un+1=√(un)+6, seul (un) est sous la racine ou c’est (un)+6 en entier? merci de me répondre au plus vite! votre site est super!
C’est juste (un), c’est pour cela que je l’ai mis entre parenthèses 😉
votre site est super pourai je avoir un sujet de maths 1ere séquence?
Merci beaucoup ! C’est clair, simple et très bien expliqué ! Enfin je comprends !
Bonjour Méthode Maths, je suis actuellement en terminale S et j’utilise très régulièrement ce site, je voulez vous demandez si il est possible de pouvoir télécharger en format PDF vos cours qui sont bien mieux expliqués 🙂 Ou si il y a possibilité d’implanter cette petite idée 🙂 Merci d’avance pour tout
super methode
Merci à vous de nous aider.
Comment vous si j’ai besoin d’aide pour résoudre un exercice que je comprends?
ce site est très génial!!
Bonjour actuellement en terminale S je voulais vous remercier pour vos cours extrement explicite qui me permettent énormément de bien comprendre le chapitre. Merci infiniment!!!
Merciii
salut ! moi c’est APPOLINAIRE éleve de terminale C. votre site est le meilleur des sites. je n’avais jamais compris les Suites comme aujourd’hui !!!! vous êtes le meilleur !! ‘
Que Dieu vous bénisse abondamment !!!!!
très bien compris
merci infiniment
Comment faire pour déterminer si une suite est arithmétique ou géométriques quant on a pas la raison ?
Pour montrer qu’elle est géométrique tu calcules un+1 et tu dois montrer qu’elle est égale à q * un.
Pour montrer qu’elle est arithmétique tu calcules un+1-un et tu dois trouver une constante (qui sera la raison).
Super site merci pour votre temps dépenser ici
MERCI
C’est très bien expliqué , avec des liens intéressants
Merci