Sommaire
Amérique du Nord – exercice 2 : les suites
Centres étrangers – exercice 4 : les suites
QCM sur les suites
QCM sur les fonctions
Centres étrangers – exercice 2 : fonctions
Amérique du Nord – exercice 2 : fonctions
Amérique du Nord – exercice 1 : probabilités
Polynésie – exercice 2 : probabilités
Centres étrangers – exercice 4 : probabilités
Centres étrangers – exercice 2 : géométrie dans l’espace
France – exercice 2 : géométrie dans l’espace
Polynésie – exercice 4 : géométrie dans l’espace
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Dans cet exercice, on considère la suite (Tn) définie par :
T0 = 180 et, pour tout entier naturel n, Tn+1 = 0,955 Tn +0,9
1) a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Tn > 20.
b) Vérifier que pour tout entier naturel n, Tn+1−Tn = −0,045(Tn −20). En déduire le sens de
variation de la suite (Tn).
c) Conclure de ce qui précède que la suite (Tn) est convergente. Justifier.
2) Pour tout entier naturel n, on pose : un = Tn −20.
a) Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b) En déduire que pour tout entier naturel n, Tn = 20+160×0,955n
c) Calculer la limite de la suite (Tn).
d) Résoudre l’inéquation Tn ≤ 120 d’inconnue n entier naturel.
3) Dans cette partie, on s’intéresse à l’évolution de la température au centre d’un gâteau après sa sortie du four.
On considère qu’à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de 180° C et celle de l’air ambiant de 20° C.
La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente (Tn). Plus précisément, Tn représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.
a) Expliquer pourquoi la limite de la suite (Tn) déterminée à la question 2)c) était prévisible dans le contexte de l’exercice.
b. On considère la fonction Python ci-dessous :
Donner le résultat obtenu en. exécutant la commande temp(120).
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Partie A :
On considère la fonction f définie pour tout réel x de ]0; 1] par :
1) Calculer la limite de f en 0.
2) On admet que f est dérivable sur ]0; 1]. On note f’ sa fonction dérivée.
Démontrer que, pour tout réel x appartenant à ]0; 1], on a :
3) Justifier que, pour tout réel x appartenant à ]0; 1], on a xe-x < 1
En déduire le tableau de variation de f sur ]0; 1].
4) Démontrer qu’il existe un unique réel l appartenant à ]0; 1] tel que f(l) = 0.
Partie B
1) On définit deux suites (an) et (bn) par :
a) Calculer a1 et b1. On donnera des valeurs approchées à 10-2 près.
b) On considère ci-dessous la fonction termes, écrite en langage Python :
Recopier et compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la fonction termes calcule les termes des suites (an) et (bn).
2) On rappelle que la fonction x-> e-x est décroissante sur R.
a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
0 < an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn < 1
b) En déduire que les suites (an) et (bn) sont convergentes.
3) On note A la limite de (an) et B la limite de (bn).
On admet que A et B appartiennent à l’intervalle ]0; 1], et que A = e-B et B = e-A.
a) Démontrer que f(A) = 0.
b) Déterminer A −B.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f(x) = x ln(x) + 1
On note Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.
1) Déterminer la limite de la fonction f en 0 ainsi que sa limite en +∞.
2) a) On admet que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et on notera f ‘ sa fonction dérivée.
Montrer que pour tout réel x strictement positif :
f ‘(x) = 1 + ln(x).
b) En déduire le tableau de variation de la fonction f sur ]0 ; +∞[. On y fera figurer la valeur exacte de l’extremum de f sur ]0 ; +∞[ et les limites.
c) Justifier que pour tout x ∈ ]0 ; 1[, f(x) ∈ ]0 ; 1[.
3) a) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe Cf au point d’abscisse 1.
b) Étudier la convexité de la fonction f sur ]0 ; +∞[.
c) En déduire que pour tout réel x strictement positif : f(x) > x
4) On définit la suite (un) par son premier terme u0 élément de l’intervalle ]0; 1[ et pour tout entier naturel n :
un+1 = f(un)
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : 0 < un < 1.
b) Déduire de la question 3)c) la croissance de la suite (un).
c) En déduire que la suite (un) est convergente.
Partie A
Soit p la fonction définie sur l’intervalle [−3 ; 4] par :
p(x) = x3 −3x2 + 5x +1
1) Déterminer les variations de la fonction p sur l’intervalle [−3 ; 4].
2) Justifier que l’équation p(x) = 0 admet dans l’intervalle [−3 ; 4] une unique solution qui sera notée α.
3) Déterminer une valeur approchée du réel α au dixième près.
4) Donner le tableau de signes de la fonction p sur l’intervalle [−3 ; 4].
Partie B
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−3 ; 4] par :
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1) a) Déterminer la dérivée de la fonction f sur l’intervalle [−3 ; 4].
b) Justifier que la courbe Cf admet une tangente horizontale au point d’abscisse 1.
2) Les concepteurs d’un toboggan utilisent la courbe Cf comme profil d’un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d’inflexion.
a) D’après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.
b) On admet que la fonction f′′, dérivée seconde de la fonction f , a pour expression pour tout réel x de l’intervalle [−3 ; 4] :
où p est la fonction définie dans la partie A.
En utilisant l’expression précédente de f′′, répondre à la question : « le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.
Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
La société dispose de deux points de location distincts, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l’un où l’autre des deux points de location. On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l’ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.
D’après une étude statistique :
– Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu’il se trouve au point A le matin suivant est égale à 0,84 ;
– Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu’il se trouve au point B le matin suivant est égale à 0,76.
À l’ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l’autre moitié au point B.
On considère un vélo de la société pris au hasard.
Pour tout entier naturel non nul n, on définit les événements suivants :
An : « le vélo se trouve au point A le n-ième matin »
Bn : « le vélo se trouve au point B le n-ième matin ».
Pour tout entier naturel non nul n, on note an la probabilité de l’événement An et bn la probabilité de l’événement Bn. Ainsi a1 = 0,5 et b1 = 0,5.
1) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :
2) a) Calculer a2.
b) Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu’il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
3) a) Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les n-ième et n+1 -ième matins.
b) Justifier que pour tout entier naturel non nul n, an+1 = 0,6an +0,24.
4) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, an = 0,6 − 0,1 x 0,6n-1
5) Déterminer la limite de la suite (an) et interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
6) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que an > 0,599 et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
Selon les autorités sanitaires d’un pays, 7% des habitants sont affectés par une certaine maladie.
Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :
– Pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans 20% des cas;
– Pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans 1% des cas.
Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.
On considère les événements suivants :
– M « la personne est malade »;
– T « le test est positif ».
1) Calculer la probabilité de Evènement M ∩ T . On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
2) Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif est de 0,0653.
3) Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître PM(T) ou PT(M) ?
4) On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif.
Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ? On arrondira le résultat à 10-2 près.
5) On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre d’individus ayant un test positif parmi les 10 personnes.
a) Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par X.
b) Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à 10-2 près.
6) Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre elle ait un test positif, soit supérieur à 99%.
Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.
Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.
On établit la règle de jeu suivante :
– un joueur perd 9 euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche;
– un joueur perd 1 euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire;
– un joueur gagne 5 euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.
1) On considère que l’urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs.
a) Modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
b) Calculer la probabilité de perdre 9 euros sur une partie.
2) On considère maintenant que l’urne contient 3 jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera N le nombre de jetons noirs.
a) Soit X la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.
Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
b) Résoudre l’inéquation pour x réel : −x2 + 30x −81 > 0
c. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l’urne doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.
d) Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d’obtenir un gain moyen maximal ?
3) On observe 10 joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que 7 jetons noirs ont été placés dans l’urne (avec 3 jetons blancs).
Quelle est la probabilité d’avoir au moins 1 joueur gagnant 5 euros ?
REMARQUE IMPORTANTE : les vecteurs seront notés en gras et en italique pour plus de simplicité, la flèche ne sera pas notée.
On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous :
On munit l’espace du repère orthonormé (A, AB, AD, AE) ;
1) a) Justifier que les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires.
b) Justifier que la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH).
c) En déduire que la droite (ED) est orthogonale au plan (AGH).
2) Donner les coordonnées du vecteur ED.
Déduire de la question 1) c) qu’une équation cartésienne du plan (AGH) est : y − z = 0.
3) On désigne par L le point de coordonnées (2/3 ; 1 ; 0).
a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EL).
b) Déterminer l’intersection de la droite (EL) et du plan (AGH).
c) Démontrer que le projeté orthogonal du point L sur le plan (AGH) est le point K de coordonnées (2/3 ; 1/2 ; 1/2)
d) Montrer que la distance du point L au plan (AGH) est égale à (√2)/2.
e) Déterminer le volume du tétraèdre LAGH.
On rappelle que le volume V d’un tétraèdre est donné par la formule :
V = (Aire de la base) x hauteur / 3
REMARQUE IMPORTANTE : les vecteurs seront notés en gras et en italique pour plus de simplicité, la flèche ne sera pas notée.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé (O, i, j, k), on considère :
– le point A de coordonnées (−1 ; 1 ; 3),
– la droite D dont une représentation paramétrique est :
On admet que le point A n’appartient pas à la droite D.
1) a) Donner les coordonnées d’un vecteur directeur u de la droite D.
b) Montrer que le point B(−1 ; 3 ; 0) appartient à la droite D.
c) Calculer le produit scalaire AB.u
2) On note P le plan passant par le point A et orthogonal à la droite D, et on appelle H le point d’intersection du plan P et de la droite D. Ainsi, H est le projeté orthogonal de A sur la droite D.
a) Montrer que le plan P admet pour équation cartésienne : 2x − y + 2z −3 = 0.
b) En déduire que le point H a pour coordonnées (7/9 : 19/9 ; 16/9).
c) Calculer la longueur AH. On donnera une valeur exacte.
3) Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite D, par une autre méthode.
On rappelle que le point B(−1 ; 3 ; 0) appartient à la droite D et que le vecteur u est un vecteur directeur de la droite D.
a) Justifier qu’il existe un nombre réel k tel queHB = ku
b) Montrer que :
c) Calculer la valeur du nombre réel k et retrouver les coordonnées du point H.
L’espace est rapporté un repère orthonormal où l’on considère :
– les points A(2 ; −1 ; 0), B(1 ; 0 ; −3), C(6 ; 6 ; 1) et E(1 ; 2 ; 4);
– le plan P d’équation cartésienne 2x − y − z +4 = 0.
1) a) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.
b) Calculer le produit scalaire BA.BC puis les longueurs BA et BC.
c) En déduire la mesure en degrés de l’angle ABC arrondie au degré.
2) a) Démontrer que le plan P est parallèle au plan ABC.
b) En déduire une équation cartésienne du plan ABC.
c) Déterminer une représentation paramétrique de la droite D orthogonale au plan ABC et passant par le point E.
d) Démontrer que le projeté orthogonal H du point E sur le plan ABC a pour coordonnées (4 ; 1/2 ; 5/2).
3) On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par V = Bh/3 où B désigne l’aire d’une base et h la hauteur de la pyramide associée à cette base.
Calculer l’aire du triangle ABC puis démontrer que le volume de la pyramide ABCE est égal à 16,5 unités de volume.
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