Exercices sur les équations différentielles du 1er ordre

Sommaire

Exercices classiques
Résolution d’équations différentielles
Rochambeau 2009 exo 1
Réunion 2010 exo 3

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Exercices classiques

Voici les 3 grands types d’exercices sur lesquels tu peux tomber en Terminale sur les équations différentielles d’ordre 1.

1) Sur ]-1 ; +∞[, on considère l’équation suivante :
(1 + x)y’ + y = ln(1 + x) + 1
Vérifier que y = ln(1 + x) -3/(1 + x) est solution de cette équation.

2) Résoudre y’ + 5y = 7

3) Résoudre 3y’ + 2 = 6y, avec y(2) = 5

Résolution d’équations différentielles

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Nous allons résoudre 3 équations différentielles :

\(\textstyle y’ – 8y = 0,\, avec\, y(2) = 3 \)

\(\textstyle y’ + 4 = -2y,\, avec\, y(0) = 1 \)

\(\textstyle -y + 3y’ = -6 \)

Rochambeau 2009 exercice 1

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Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population.
(La partie B traite des probabilités et se trouve donc dans la partie correspondante).
Partie A : étude de la progression de l’épidémie pendant 30 jours
Au début de l’épidémie, on constate que 0,01% de la population est contaminée.
Pour t appartenant à [0 ; 30], on note y(t le pourcentage de personnes touchées par la maladie après t jours.
On a donc y(0) = 0,01.

On admet que la fonction y ainsi définie sur [0 ; 30] est dérivable, strictement positive et vérifie :
y’ = 0,05y(10 – y)

1) On considère la fonction z définie sur l’intervalle [0 ; 30] par :

\(\textstyle z = \frac{1}{y} \)

Démonter que la fonction y satisfait aux conditions :

\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{c} y(0) = 0,01 \\ y’ = 0,05y(10 – y) \end{array} \right. \)

si et seulement si la fonction z satisfait aux conditions

\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{c} z(0) = 100 \\ z’ = -0,5z + 0,05 \end{array} \right. \)

2) a) En déduire une expression de la fonction z puis celle de la fonction y.
b Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l’entier le plus proche.

Réunion 2010 exercice 3

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Les 2 parties peuvent être traitées indépendamment.

Partie A :
On cherche à déterminer l’ensemble des fonctions f, définies et dérivables sur ]0 ; +∞[ vérifiant la condition (E) :
pour tout nombre réel x strictement positif : x f ‘(x) – f(x) = x²e^2x

1) Montrer que si une fonction f , définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[, vérifie la condition (E), alors la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

\(\textstyle g(x) = \frac{f(x)}{x} \, vérifie \, : \)

pour tout nombre réel x strictement positif, g'(x) = e^2x

2) En déduire l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur l’intervalle ]0 ; +∞[ qui vérifient la condition (E).

3) Quelle est la fonction définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ; +∞[ qui vérifie la condition (E) et qui s’annule en ½

Partie B :
On considère la fonction h définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

\(\textstyle h(x) = \frac{1}{2}xe^{2x} – \frac{e}{2}x \)

On désigne par c sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1) Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel positif x, le signe de h(x).

2) a) Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale

\(\textstyle \int\limits_0^{1/2} xe^{2x}dx \)

et en déduire

\(\textstyle \int\limits_0^{1/2} h(x)dx \)