Cercle trigonométrique et formules de trigo

Sommaire

Importance du cercle trigo
Formules de base
Formules d’addition
Formules du duplication
Formule fondamentale
Angles associés
Résolution d’équations
Les fonctions sec et cosec
Arccos, arcsin et arctan
Exercices
Conclusion

Pourquoi le cercle trigo est-il si important ?
Le cercle trigonométrique est un outil fondamental à maîtriser parfaitement !

Tout simplement parce qu’on l’utilise souvent, surtout dans les complexes mais aussi en géométrie, dans les fonctions…

Le connaître par coeur est donc très important, surtout si tu fais des études mathématiques plus tard, ça te servira forcément un jour !

Nous avons réalisé une animation pour te le présenter afin que tu comprennes sa construction et non que tu l’apprennes bêtement par cœur, tu le retiendras mieux ainsi.
N’hésite pas parfois à mettre la vidéo sur pause pour avoir le temps de bien comprendre a

Nous t’avons fait un petit cercle récapitulatif. Il est fortement conseillé de le télécharger et de l’imprimer, comme ça tu l’auras toujours avec toi !
Tu pourras ainsi l’apprendre régulièrement, comme ça tu le connaîtras par coeur sans souci a
Pour le téléharger, fais un clic droit sur l’image puis « Enregistrer l’image sous », etc…

a

Avant de passer aux choses sérieuses, voyons pourquoi Π est compris entre 3 et 4 !

Formules de base
Rappelons tout d’abord les formules du cosinus, sinus et de la tangente, que tu dois connaître depuis lecollège, mais certains élèves de terminale ont parfois encore un peu de mal avec…a
Dans un triangle RECTANGLE :

\(\displaystyle cos(x) = \frac{adjacent}{hypotenuse} \)

\(\displaystyle sin(x) = \frac{oppose}{hypotenuse} \)

\(\displaystyle tan(x) = \frac{oppose}{adjacent} \)

Tu peux apprendre ces formules par coeur, mais il est mieux de retenir la petite astuce pour s’en souvenir : Soh Cah Toa !!
S = sinus, C = cosinus, T = tangente
O = opposé, A = adjacent, H = hypoténuse
Ainsi, Soh veut dire : « sin = opposé sur hypothénuse »
Cah veut dire « cos = adjacent sur hypoténuse »
Et Toa signifie « tan = opposé sur adjacent ».

Bien sûr la phrase se prononce « socatoa », mais il ne faut pas oublier les h sinon ça ne veut pas dire grand chose^^.

Pour mieux retenir, tu peux aussi utiliser Cah Soh Toa, prononcé rapidement ça fait « casse-toi »… généralement les élèves retiennent mieux, va savoir pourquoi… a

Et bien sûr il y a une formule qui découle des trois précédentes :

\(\displaystyle tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} \)

Bon si tu es au lycée j’espère que tu savais déjà ça… et maintenant tu n’as plus d’excuse pour ne pas savoir a
Passons maintenant aux choses sérieuses…

Formules d’addition
En plus du cercle trigonométrique, il y a quelques formules simples à retenir qu’il faut connaître. On insiste pas souvent assez dessus mais il faut les connaître, surtout que ce n’est pas très compliqué a

\(\displaystyle cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) \)

\(\displaystyle cos(a- b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) \)

\(\displaystyle sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) \)

\(\displaystyle sin(a- b) = sin(a)cos(b) – sin(b)cos(a) \)

Pour t’en souvenir c’est très simple :
Pour cosinus, ce sont les cosinus et les sinus ensemble (cos(a)cos(b) et sin(a)sin(b)) mais le signe du milieu change :
pour cos(a + b), c’est « – » dans la formule, mais pour cos(a – b), c’est « + » dans la formule^^

Pour sinus c’est le contraire : on mélange les sinus et les cosinus (sin(a)cos(b) et sin(b)cos(a)) mais on garde le signe de la parenthèse :
pour sin(a + b), c’est « + » dans la formule, mais pour sin(a – b), c’est « – » dans la formule.

Tout est réexpliqué en détails dans ces vidéos avec les astuces, avec en prime la démonstration des formules d’additiona

Pour la tangente il y a évidemment une formule :

\(\displaystyle tan(a + b) = \frac{tan(a) + tan(b)}{1 – tant(a)tan(b)} \)

Là encore tu trouveras la démonstration en cliquant sur cette page.

Il existe d’autres formules utilisées après le bac qui peuvent être très utiles, surtout en physique :

\(\displaystyle cos(a) + cos(b) = 2cos(\frac{a + b}{2})cos(\frac{a – b}{2}) \)

\(\displaystyle cos(a) – cos(b) = -2sin(\frac{a + b}{2})sin(\frac{a – b}{2}) \)

\(\displaystyle sin(a) + sin(b) = 2sin(\frac{a + b}{2})cos(\frac{a – b}{2}) \)

\(\displaystyle sin(a) – sin(b) = 2cos(\frac{a + b}{2})sin(\frac{a – b}{2}) \)

\(\displaystyle tan(a) + tan(b) = \frac{sin(a + b)}{cos(a)cos(b)} \)

Comme ci-dessus, tu trouveras les démonstrations en cliquant sur cette page.

Formules de duplication

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Ces formules sont également à connaître mais comme on le verra après, elles découlent des formules précédentes :

\(\displaystyle sin(2a) = 2sin(a)cos(a) \)

\(\displaystyle cos(2a) = cos^2(a) – sin^2(a) \)

\(\displaystyle cos(2a) = 2cos^2(a) – 1 \)

\(\displaystyle cos(2a) = 1 – 2sin^2(a) \)

La 1ère est très simple à redémontrer, c’est sin(a+b) mais on remplace b par a, comme ça ça fait sin(2a)^^.
La 2ème formule c’est pareil, c’est cos(a+b) en prenant b = a.
Ces formules ne sont donc pas nouvelles, ce sont juste descas particuliers des précédentes.

Pour les 2 dernières, facile à retenir :
On prend la 2ème formule, et si on met un 2 devant cos2(a) on remplace sin2(a) par 1 !
La dernière c’est l’inverse, si on met un 2 devant sin2(a) on remplace cos2(a) par 1.

Tout est rappelé dans cette vidéo, avec les démonstrations en plus a



Formule fondamentale

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Une autre formule que tu dois normalement déjà connaître depuis le collège :

\(\displaystyle cos^2(x) + sin^2(x) = 1 \)

Cette formule vient en fait du célèbre théorème de Pythagore^^
Nous allons d’ailleurs le démontrer dans cette vidéo, car tu retiendras plus facilement la formule. Un petit exemple accompagne la démonstration.

Angles associés

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Ces formules ne sont pas à retenir par coeur, ce qu’il faut retenir, c’est la méthode pour pouvoir les retrouver facilement.
L’objectif est le suivant : ilfaut savoir exprimer des expressions du style cos(π – x), sin(π + x), etc… en fonction de cos(x) et sin(x).

Pour cela c’est très simple : on trace un cercle trigo, et on prend un x PETIT !!!

a

L’intérêt est le suivant : cos(x) est GRAND et sin (x) est PETIT. On s’en servira tout à l’heure.

Si on veut exprimer cos(π – x), on place π – x, et on regarde où est son cosinus :

a

Il ne reste plus que 2 étapes :
– on regarde si c’est positif ou négatid (ici c’est négatif)
– on regarde si c’est grand ou petit pour savoir si ce sera sinus ou cosinus (ici c’est grand => cosinus)

C’est donc négatif, et grand (donc cosinus), donc cos(π – x) = – cos(x) !

Si par contre on veut calculer sin(π – x), on regarde où est le sinus de π-x :

a

On voit qu’il est positif et petit (donc sinus), et par conséquent : sin(π – x) = + sin(x).

Tout est réexpliqué dans cette vidéo sur les angles associés a

Résolution d’équations

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En trigonométrie il y a également des exercices sur la résolution d’équations.
Le principe est le même qu’une équation classique, à savoir qu’il faut trouver x. Mais les méthodes pour trouver x vont être un peu différentes…

Il y a 2 types d’équations que tu dois savoir résoudre : cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a).

—
Si cos(x) = cos(a) alors x = a + 2k π ou x = – a + 2k π
Si sin(x) = sin(a) alors x = a + 2k π ou x = π – a + 2k π
—

Ceci est évidemment à retenir par cœur mais nous allons voir graphiquement pourquoi.
Si cos(x) = cos(a), cela signifie que x a le même cosinus que a. Il y a donc 2 possibilités d’après le schéma suivant :

a

Si sin(x) = sin(a), cela signifie que x a le même sinus que a. Il y a donc 2 possibilités d’après le schéma suivant :

a

—
ATTENTION à ne pas oublier le +2kπ !!!
Ce 2kπ vient du fait que l’on peut faire plusieurs tours (2kπ) dans un sens ou dans l’autre on aura toujours le même point sur le cercle.
—

Si les formules ci-dessus sont plutôt simples à retenir (surtout avec le schéma), les exercices le sont souvent beaucoup moins !
Ne t’inquiète pas, tu trouveras dans ces exercices sur les équations trigonométriques tous les cas que tu pourras rencontrer sur la résolution d’équations avec la trigonométrie !



Les fonctions sec et cosec

Les fonctions sec et cosec sont définies par :

\(\displaystyle sec(x) = \frac{1}{cos(x)} \)

\(\displaystyle cosec(x) = \frac{1}{sin(x)} \)

L’étude de ces fonctions est faite en vidéo sur cette page pour plus de facilités de compréhension.

Arccos, arcsin et arctan

Pour l’étude des fonctions arccos, arcsin et arctan (fonctions réciproques de cos, sin et tan), tu pourras aller sur cette page où tout est détaillé !

Exercices

Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur la trigonométrie !

Conclusion
Il y a certes beaucoup de formules à connaître, mais il ne faut pas les apprendre bêtement par coeur !!

Il faut que tu retiennes à chaque fois les astuces qui te permettent de retenir ou de retrouver rapidement ces formules. Nous t’avons donné ces astuces, mais si tu veux utiliser d’autres moyens mnémotechinques, n’hésite pas !
L’important est que tu puisses utiliser ces formules le jour où tu en auras besoin.
On utilise plutôt ces formules après le bas qu’au lycée, mais tant qu’à faire autant les apprendre tout de suite ! a

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129 réflexions sur “ Cercle trigonométrique et formules de trigo ”

  14. Pour nous les Ingénieurs, les mathématiques sont pour nous une base fondamentale et nous permettent d’avoir un raisonnement rapide.
    On ne peut jamais s’en passer

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  19. sa fait longtemps que cherchai à connaitre la trigonométrie . mais aujourd’hui grâce a vos explications j’ai compris le secret de la trigonométrie
    merci beaucoup

    Répondre

  20. J’ai toujours bien aimé la trigo, la géométrie etc. C’est fascinant et cela me détend.
    alors je cherchais le moyen de pouvoir retenir les bases de cette trigo le plus facilent possible pour pas devoir rechercher à chaque fois dans un bouquin pour telle et telle calcul, seulement me mémoriser dans cette tête l’astuce (les bases).c’est telleement beaucoup plus intéressant !.

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  25. Bonjour, je trouve ce site très bien rédigé mais j’ai un petit souci : il apparaît des croix à la place des images ou des formules de résumé.
    Comment faire pour les voir ??

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  32. Suis vraiment tres content car grace a vous j’ai eu la base en trigonometrie, je les ais appris mais pas par betement. Je vs remercie du fond du coeur, jaime beaucoup les math

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  44. votre cours est vraiment bien expliqué surtout avec son coté drole comme SOH_CAH_TOA et casse toi.cela ma beaucoup aidé sauf que les videos, je ne les ai pas trouvées grand MERCI

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  61. En général c’est un meilleur
    site, merci pour tous ces efforts. Mais quelques chapitres sont moins bien traités. Nous avons appris beaucoup de choses. que Dieu vous récompense

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  66. ca fait plus de 15 ans que j’ai laissé la trigonométrique. Cette page m’a fait rappeler beaucoup de souvenirs et surtout m’a aidé à préparer un examen

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  70. Je suis très enchanté de vous connaître et j’en suis vraiment à bout à l’instant que je vous écris et maintenant je crois qu’il me reste une petite application numérique c’est à dire de mettre en pratique les connaissances, les idées que j’ai pu tirer de ce document. Et sans vous flattez vous faites un sacré boulot pour les intéressés, je me fais tout le temps des astuces sur la math mais sur la trigonométrie ça m’était un peu délicat , là j’achève mes recherches et c’est grâce à vous merci énormément, Merci à Dieu et du courage que Dieu vous accompagne !
    Je suis un élève de La Terminale Science Exacte.

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  75. Salut à toutes et tous, j’aimerais connaître la manière dont on peut calculer les angles non remarquables(par exemples : 22.5°, 15°, 70°) pas avec la calculatrice d’une manière analogique(en trouvant avec les radicals)…
    Merci d’avance !

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  77. merci boss,ce cours m’a fait beoucoup de rappel et de connaissance sur le trigonometrique et je vous souhaite la benidiction par dieu pour qu’il vous aide d’avancer.

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  79. J’apprécie vraiment ce cour et j’espère que vous allez continuer à nous aider. Mais ce qui manque dans ce courrier c’est seulement des exercices d’application et bien d’autres séries d’exercices car l’étudiant peut bien comprendre le cour et n’est pas être à mesure de résoudre certains exercices et c’est ce qui est grave. Sinon le cour est tellement riche.

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  87. Bravo pour la façon dont vous expliquez les raisonnements et exercices , je travaille avec vous sur votre site .continuez c’est un plaisir d’étudier vos cours ( je suis retraité et 72 ans )
    encore Merci.

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  89. Bonjour,
    Le lien vers les exercices de résolutions d’équation renvoient une erreur de page non-trouvée.
    Sinon, merci pour ces cours bien fait et surtout vos vidéos!
    Bonne continuation!

    Répondre

  93. Bonjour le lien de la partie « Résolution d’équation » ne marche plus .
    Est ce qu’il y a un moyen de le remettre ? Vos cours sont très inintéressants ! cela m’aide beaucoup! Merci d’avance 🙂

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  98. pour le créateur du site je le remercie infiniment mais je voudrais demander a ce que la page des exercices soit renouveler quand en entre dans le lien en nous dis que le site a rien trouvé , merci de régler ce problème s’il vous plait.

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  99. Merci beaucoup pour votre site,
    il m’aide à aimer les maths de nouveau. Pourriez vous remettre un lien actif pour les exercices de trigo.
    un grand merci

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